Heb je gelijk in. De vormfactor wordt gedefinieerd als:
\(\phi=\frac{12I}{A^2}\)
Deze waarde komt eigenlijk van een verhouding van momenten (elastisch en plastisch) als ik me niet vergis. Om je materiaal zo efficiënt mogelijk te gebruiken, dient deze waarde zo hoog mogelijk te zijn: dit biedt de meest economische sectie. Door aan te tonen dat deze functie een maximum vertoont voor n=3 (let alleen op natuurlijke waarden, n stelt het aantal hoeken voor van een regelmatige veelhoek), kan je wiskundig aantonen dat een driehoek efficiënter materiaalgebruik vertoont voor stijfheid dan bijvoorbeeld een cirkelvormige sectie.
Daarvoor diende dus de enerzijds de oppervlakte van een n-hoek berekend te worden (elementaire goniometrie). Maar anderzijds ook het traagheidsmoment ten opzichte van de x-as.
Uiteindelijk heb ik het traagheidsmoment van één direhoek bepaald, en deze via de traagheidstensor geroteerd.
I'=A*I*At
Uit elk van deze 2n rechthoekige driehoeken, heb ik telkens dan de niet-geroteerde waarde van het traagheidsmoment afgezonderd, wat overblijft is de goniometrische som die elders op het forum rondzwerft
Op die manier bekom je uiteindelijk de uitdrukking:
\(\frac{3 cos^2(\frac{\pi}{n})+sin^2(\frac{\pi}{n})}{n sin(\frac{\pi}{n})cos(\frac{\pi}{n})}\)
Deze functie dalend vanaf n=3.
Voor natuurlijke waardes kan je dus aantonen dat de uitdrukking een maximum vertoont door bovenstaande ongelijkheid. Alternatief is afleiden, maar dit geeft iets vreselijk ingewikkeld. Uiteindelijk was een taylor-reeks de correcte methode.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
