Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 39

Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Goedendag

Ik zou moeten bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn. Dit zou ik kunnen doen met een bijectieve functie van R naar [0,1] te zoeken omwille van de stelling van Cantor, maar ik heb geen idee hoe ik zo een bijectieve functie zou moeten vinden.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Probeer eens iets intuïtief te tekenen (ofzo) van hoe je [0, 1] en R in bijectie kunt brengen?

PS: Je kan bijv. eerst (0, 1) en R in bijectie brengen en dan (0, 1) en [0, 1]. Dat is minder rechtstreeks, maar ook "geldig".
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Ik zou niet weten hoe ik dat moet doen, bij de rationale getallen kun je dat zo aftellen en er voor zorgen dat ieder getal aan de beurt komt maar hoe kun je zoiets doen met reële getallen, aangezien dat daar ook irrationale tussen zitten.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Zou je wel een bijectie kunnen leggen tussen (0, 1) en R?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 7.068

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Is het niet voldoende om te bewijzen dat [0,1] injectief is op R en andersom? Daaruit volgt immers dat er een bijectie bestaat en dus equipotentie.

Berichten: 39

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Ik denk dat ik het niet perfect snap, want er kan toch geen bijectie zijn tussen (0,1) en R want (0,1) heeft toch maar 2 elementen en R overaftelbaar. Dan kan daar toch geen bijectie tussen worden gemaakt of zie ik het verkeerd?

Berichten: 7.068

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Ik ging er vanuit dat je met (0,1) bedoelde alle reeele getallen groter dan 0 en kleiner dan 1. Met [0,1] dacht ik dat je bedoelde alle reeele getallen groter dan of gelijk aan 0 en kleiner dan of gelijk aan 1.

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Daar ga ik ook wel van uit dat je dat bedoelt... Tussen (0, 1) en R is zelfs zeer makkelijk. Hint: denk aan tan(x).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Berichten: 39

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Ah ok, dan is de bijectie tan((x*10/pi)+pi/2) als ik mij niet vergis.

Berichten: 7.068

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Kun je uitleggen hoe jij denkt dat dat een bijectie is?

Berichten: 39

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Het is injectief want voor iedere x, is er maximaal 1 y. Het is ook surjectief want voor iedere y is er een x waarvoor geldt dat f-1(y)=x dus als het injectief en surjectief is, is het ook bijectief

Berichten: 7.068

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

\(\tan(x) = \tan(x+\pi)\)
Stel:
\(\frac{10 x}{\pi} = \pi\)
\(10 x = \pi^2\)
\(x = \frac{\pi^2}{10} \approx 0.987\)
Dat ligt in het interval [0,1]. Er zijn dus meerdere x waarden met dezelfde y waarde. De gegeven functie is dus geen bijectie.

Bekijk de tangens eens op het domein:
\([\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

Berichten: 39

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Ik had verkeerd geteld, maar tan(pi*x+pi/2) is in het interval (0,1) bijectief.

Berichten: 7.068

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Daar kan ik het wel mee eens zijn. :)

Een andere methode:

[0,1] is duidelijk injectief op R. De vraag is of het ook andersom geldt:
\(f(x) = \frac{1+x}{6 x} \mbox{ als } |x| > 1\)
\(f(x) = \frac{2+x}{3} \mbox{ als } |x| \leq 1\)
Het antwoord is dus dat het geldt. Aangezien beide kanten op injectief een optie is, is er ook een bijectie.

Berichten: 39

Re: Bewijzen dat R en het interval [0,1] equipotent zijn

Ok dank u

Reageer