[wiskunde] Limiet irrationale functie

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 07-12-'13, 14:02

jan92

Berichten: 24

Limiet irrationale functie

Volgende limiet wilt maar niet lukken:
\(
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}
\)
Het lukt wel met de regel van l'Hôpital (de uitkomst is 3/2), maar ik had het graag ook op een andere manier gedaan. Ik heb het al geprobeerd door te vermenigvuldigen met de toegevoegde tweeterm maar dat lukte niet .

Kan iemand helpen?
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 14:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet irrationale functie

\(\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}\)
Substitutie:
\(\lim_{u^3 \to 1} \frac{\sqrt{u^3}-1}{\sqrt[3]{u^3}-1} = \lim_{u \to 1} \frac{{u^{\frac{3}{2}}}-1}{u-1}\)
Nogmaals:
\(\lim_{1+h \to 1} \frac{{(1+h)^{\frac{3}{2}}}-1}{(1+h)-1} = \lim_{h \to 0} \frac{{(1+h)^{\frac{3}{2}}}-1^{\frac{3}{2}}}{h}\)
Dit laatste is de definitie van de afgeleide van de functie
\(f(x) = x^{\frac{3}{2}}\)
met
\(x=1\)
.
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 14:42

jan92

Berichten: 24

Re: Limiet irrationale functie

Mooie alternatieve manier om de limiet te berekenen EvilBro. :)

Alleen had ik het ook graag zonder afgeleiden gedaan. Afgeleiden worden immers gedefinieerd met behulp van limieten en deze oefening kwam ook uit het hoofdstuk voor afgeleiden. Ik ga er dus vanuit dat het ook op een andere manier moet te berekenen zijn. Of niet soms?
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 15:18

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet irrationale functie

jan92 schreef: ↑za 07 dec 2013, 14:02
\(
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}
\)


Het kan wel op jouw manier ...

Wat heb je geprobeerd?
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 15:43

jan92

Berichten: 24

Re: Limiet irrationale functie

Safe schreef: ↑za 07 dec 2013, 15:18
Wat heb je geprobeerd?
Wel, eerst heb ik gewoon geprobeerd om te vermenigvuldigen met de toegevoegde tweeterm van de noemer. Dus met de term
\(
\sqrt[3][/size]{x}+1.
\)
Dat lukte niet.

Dan las ik ergens dat in geval van een derdemachtswortel het soms kan lukken als je vermenigvuldigt met een drieterm van de vorm (a^2 + ab + b^2). Dan krijg je in de noemer immers (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3, en dan valt die derdemachtswortel weg.

Dus heb ik dan ook eens teller en noemer vermenigvuldigd met
\(
\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x} + 1.
\)
Ook zonder succes. :(

Edit: LaTeX doet moeilijk vandaag.
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 16:09

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet irrationale functie

jan92 schreef: ↑za 07 dec 2013, 15:43
Wel, eerst heb ik gewoon geprobeerd om te vermenigvuldigen met de toegevoegde tweeterm van de noemer. Dus met de term
\(
\sqrt[3][/size][size=4]{x}+1.
\)
Dat lukte niet.

Dan las ik ergens dat in geval van een derdemachtswortel het soms kan lukken als je vermenigvuldigt met een drieterm van de vorm (a^2 + ab + b^2). Dan krijg je in de noemer immers (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3, en dan valt die derdemachtswortel weg.

Dus heb ik dan ook eens teller en noemer vermenigvuldigd met
\(
\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x} + 1.
\)
Ook zonder succes. :(

Edit: LaTeX doet moeilijk vandaag.
\(
\sqrt[3]{x}^2 + \sqrt[3]{x} + 1.
\)
Toch is dit goed, je moet even doordenken ...

Je krijgt nu x-1 in de noemer en hoe krijg je x-1 in de teller ...
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 16:54

jan92

Berichten: 24

Re: Limiet irrationale functie

Dan krijg ik:
\(
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(x^{2/3}+ \sqrt[3]{x}+1)}{x-1}.
\)
Hier zie ik toch geen term met x-1 in de teller?
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 17:15

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet irrationale functie

Je kan hier twee kanten op ...

Je kan x-1 in de noemer ontbinden (verschil van twee kwadraten).

Je kan ook de teller
\(\sqrt{x}-1\)
'opwaarderen' naar x-1 ...
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 17:24

jan92

Berichten: 24

Re: Limiet irrationale functie

Maar natuurlijk. :D

Dan krijg ik:
\(
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt[3]{x}-1}

= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(x^{2/3}+ \sqrt[3]{x}+1)}{x-1}

= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x}-1)(x^{2/3}+ \sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}

= \lim_{x \to 1} \frac{(x^{2/3}+ \sqrt[3]{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)}

= (1 + 1 + 1)/(1 + 1)

= 3/2
\)
Bedankt! ;)
Omhoog

Bericht 07-12-'13, 17:54

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet irrationale functie

Ok! De andere manier ook ... ?

Bestudeer de manier van EvilBro goed, kan van pas komen ...

Succes verder
Omhoog

Bericht 08-12-'13, 22:24

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Limiet irrationale functie

Ik dacht de wortels kwijt te raken via
\(x=p^6\)


Daar de limiet naar 1 gaat kunnen ze probleemloos worden getrokken.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”