Limiet van een functie = functie van de limiet?

Flisk

Klopt het volgende?

f en g zijn beide continu.

\(\lim_{x \to c}g(f(x)) = g(\lim_{x \to c} f(x))\)

JorisL

Alleen als de limieten bestaan en eindig zijn.

Flisk

Voor de geïnteresseerden, ik heb er een bewijsje voor gemaakt.

Voorwaarde:

f is continu in c en g is continu in f van c.

Dus er geldt volgens de definitie van continuïteit:

(continuïteit van f)

\(\lim_{x \to c}f(x) = f(c) \)

\(\iff g(\lim_{x \to c}f(x)) = g(f(c))\)

(Dit noemen we uitdrukking (1) en hebben we op het einde nog nodig.)

en

(continuïteit van g)

\(\lim_{f(x) \to f(c)}g(f(x)) = g(f(c)) \)

We weten volgens de

\(\varepsilon-\delta\)

definitie van limieten dat die laatste uitdrukking gelijk is aan:

\((\forall \varepsilon_1 > 0)(\exists \delta_1 > 0)(|f(x) - f(c)|<\delta_1 \Rightarrow |g(f(x))-g(f(c))| <\varepsilon_1)\)

Volgens de continuiteït van f in c geldt er ook dat:

\((\forall \varepsilon_2 > 0)(\exists \delta_2 > 0)(|x-c|< \delta_2 \Rightarrow |f(x)-f(c)| <\varepsilon_2)\)

Daar dit geldt voor elke

\(\varepsilon_2\)

, geldt dit ook voor

\(\varepsilon_2 = \delta_1\)

.

M.a.w., voor elke

\(\varepsilon_1\)

, bestaat er een

\(\delta_1\)

, waarvoor men een

\(\delta_2\)

kan vinden zodat

of dus

\((|x-c|< \delta_2 \Rightarrow |g(f(x))-g(f(c))| <\varepsilon_1)\)

Wat volgende uitdrukking geeft:

\((\forall \varepsilon_1 > 0)(\exists \delta_2 > 0)(|x-c|< \delta_2 \Rightarrow |g(f(x))-g(f(c))| <\varepsilon_1)\)

Deze uitdrukking is gelijk aan

\(\lim_{x \to c}g(f(x)) = g(f(c))\)

We zien dat het rechterlid hiervan gelijk is aan het rechterlid van uitdrukking (1).

De linkerleden zijn dus ook gelijk aan elkaar:

\(\lim_{x \to c}g(f(x)) = g(\lim_{x \to c} f(x))\)

Waarmee het gevraagde bewezen is.

\(\blacksquare\)

Anton_v_U

In het algemeen klopt de stelling niet. Je moet er nog iets bij roepen over het bereik van de functies f en g en met name over het bestaan van de limieten zoals Joris al opmerkt.

Over je bewijs.

Als extra aanname poneer je: f continu in c en g continu in f( c)

Maar dan mag je de limieten weglaten en dan is de stelling triviaal.

Maar ik ben geen wiskundige, misschien zeg ik nu wel heel enge dingen in de ogen van wiskundigen...

Het is toch zo dat als f(x) continu is in c dat dan de limiet voor x-> c van f(x) per definitie gelijk is aan f( c)?

Of moet je dat zelfs nog bewijzen?

Flisk

De limieten zomaar weglaten lijkt mij onverstandig, hoe zou je dan die stelling kunnen bewijzen? De stelling gaat net over limieten, dus als je ze weglaat krijg je triviale dingen zoals f(x)=f(x).

Het is inderdaad per definitie zo dat de limiet voor x->c van f(x) gelijk is aan f( c). Dat is ook hetgeen ik gebruik helemaal in het begin van mijn bewijs. Dit moet niet bewezen worden want dit is de definitie van een continue functie.

Aan de hand van de definitie van een limiet kan men dan de stelling bewijzen.

Het moeilijkste gedeelte is van

\(\lim_{f(x) \to f(c)}g(f(x)) = g(f(c)) \)

over gaan naar

\(\lim_{x \to c}g(f(x)) = g(f(c)) \)

. Dit is eigenlijk de kern van het hele bewijs. Het is niet omdat iets triviaal lijkt dat het ook waar is, wiskunde kan vaak onverwacht uit de hoek komen, daarom wou ik het wel zeker weten.

Volgend voorbeeld is een reden waarom ik dit wou uitpluizen, je zoekt dus de limiet L, a is een constante. De vraag is hoe de limiet er uitziet i.f.v. a.

\(L = \lim_{x \to 0}(cos(x)^{x^a}) \iff ln(L) = \lim_{x \to 0}(ln(cos(x)^{x^a})) = \lim_{x \to 0}( x^a ln(cos(x)))\)

Hier kun je dus die vervelende

\(x^a\)

uit de macht van die cosinus krijgen.

Het is dus een zeer krachtige tool in het vereenvoudigen en uitrekenen van limieten.

Anton_v_U

Als f(x) continu is in x=c dan is de limiet voor f(x) als x-> c gelijk aan f( c). We slopen dus de rechter limiet er uit.

Als g continu is in f( c) dan kan die linker limiet ook er uit om dezelfde reden.

Dan blijft er iets triviaals over: g(f( c) = g(f( c)) waarbij f gedefinieerd is in c en g in f( c)). So be it.

Als je dit niet correct vindt moet je uitleggen waarom ik de limieten niet mag vervangen door iets dat er aan gelijk is.

De stelling klopt dus - nou ja, hij klopt onder de voorwaarde die je in het bewijs er bij verzint - maar dat het dan klopt is nogal triviaal.

Verder is cos(0)=1 en 0^a=0 (reële a) en 1⁰=1 dus de functie onder de limiet bestaat gewoon voor x=0 en je kunt dus de limiet weglaten of ga ik nu te kort door de bocht?

Flisk

In het rechterlid kan je inderdaad de limiet gewoon 'slopen', dat doe ik ook in het begin:

Flisk schreef: ↑di 24 dec 2013, 16:44
\(\lim_{x \to c}f(x) = f(c) \)

\(\iff g(\lim_{x \to c}f(x)) = g(f(c))\)

Merk op dat er in de rechterleden geen limiet meer staat.

Dit 'slopen' van de limiet mag omdat het rechtstreeks volgt uit de definitie van continuïteit van de functie f.

Maar in dat linkergedeelte, mag je volgens de definitie, en de gegeven voorwaarden, dit niet zomaar doen. Omdat we enkel weten dat g continu is, mogen we enkel stellen dat:

\(\lim_{f(x) \to f(c)}g(f(x)) = g(f(c))\)

en niet dat:

\(\lim_{x \to c}g(f(x)) = g(f(c))\)

Zie je het verschil? het is vrij subtiel, maar dit neemt niet weg dat het moet bewezen worden.

Ik had f(x) evengoed x₂ en f(c ) evengoed c₂ kunnen noemen.

In de stelling spreekt men echter van één enkele x en c, die dezelfde is in linker-en rechterlid.

In verband met het voorbeeldje, je gaat inderdaad te kort door de bocht. Als a negatief is krijg je een onbepaaldheid, nl

\(1^{\infty}\)

.

De uitwerking maakt gebruik van deze stelling maar is vrij lang om uit te typen in latex, als je geïnteresseerd bent, wil ik hem gerust plaatsen.

De uitkomst is alvast volgende:

Voor a=2, is de limiet gelijk aan

\(e^{-\frac{1}{2}}\)

,

Voor a>2, is de limiet gelijk aan

\(1\)

,

Voor a<2, is de limiet gelijk aan

\(0\)

,

Anton_v_U

Flisk schreef: ↑wo 25 dec 2013, 05:10
Omdat we enkel weten dat g continu is, mogen we enkel stellen dat:

\(\lim_{f(x) \to f(c)}g(f(x)) = g(f(c))\)
en niet dat:

\(\lim_{x \to c}g(f(x)) = g(f(c))\)
Zie je het verschil?

Ja je kunt inderdaad bewijzen dat dit hetzelfde is. Bij nader inzien niet eens zo'n gek idee. Toch laat zoiets bij mij de smaak achter van "wiskundige haarkloverij" maar dat zegt meer over mij (ingenieursachtergrond) dan over jouw bewijs.

Toen ik wilde formuleren waarom het zo logisch was, ging ik als vanzelf redeneren in de lijn van jouw bewijs (omgeving van δx rond c voor f wordt een omgeving die lijkt op δx f ' ( c) voor g etc. Ja dat is slordig want nu neem ik differentieerbaarheid aan maar een ingenieur mag dat

). Je hebt dus eigenlijk wel gelijk met je benadering.

Flisk schreef: ↑wo 25 dec 2013, 05:10
De uitkomst is alvast volgende:

Voor a=2, is de limiet gelijk aan
\(e^{-\frac{1}{2}}\)
,

Voor a > 2, is de limiet gelijk aan 1,

Voor a < is de limiet gelijk aan 0,

De limiet kun je bepalen met reeksontwikkeling van cos(x) en ln(1+x). Dat leidt tot: Ln(L) = lim (-1/2 x^a+2)

In jouw bovenbeschreven oplossing moet je dus a=2 vervangen door a=-2.

Grappig gedrag. Ik heb 't nog numeriek gechekt met Excell en het klopt helemaal, alleen in de buurt van a=-2 wordt de rekenmachine (begrijpelijk) nogal numeriek instabiel.

In m'n bovenstaande post ging ik uit van positieve a, maar da's niet helemaal slim.

Flisk

Ja sorry, er moet overal -2 ipv 2 staan

. Wat ik ook niet vermeld heb, is dat voor a<-2, de limiet enkel geldt als men 0 nadert langs rechts.

Aan die taylorontwikkeling had ik niet gedacht! kan nog heel erg handig zijn.

Ik vraag me wel af hoe je dan merkt dat enkel de rechterlimiet bestaat in sommige gevallen.

Dat terzijde: zo heb ik het opgelost (verder gezet vanaf post 5):

\(ln(L)= \lim_{x \to +0}( x^a ln(cos(x)))= \lim_{x \to +0}(\frac{ln(cos(x))}{x^{-a}})\)

Nu tweemaal l'Hopital toepassen (want invullen geeft twee keer 0/0).

\(=-\frac{1}{(-a).(-a-1)}\lim_{x \to +0}(\frac{1/cos^2(x)}{x^{-a-2}})\)

dus

\(L=exp(-\frac{1}{(-a).(-a-1)}\lim_{x \to +0}(\frac{1/cos^2(x)}{x^{-a-2}}))\)

Waaruit je het resultaat rechtstreeks kunt aflezen dmv invullen. x mag niet negatief genaderd worden, want dan valt dat eerste minteken weg en krijg je

\(e^{\infty}\)

ipv

\(e^{-\infty}\)

Ik vind het wel interessant dat het resultaat in functie van a totaal niet continu is. Je krijgt de constante functie 0, in het punt a=-2 springt men naar

\(e^{-1/2}\)

en daarna springt de functie naar een constante functie 1.

Anton_v_U

Ik vraag me wel af hoe je dan merkt dat enkel de rechterlimiet bestaat in sommige gevallen.

Ik had dit nog niet opgemerkt, maar na reeksontwikkeling van ln(L) en weer machtsverheffen staat er:

L = lim exp(-1/2 . x^a+2) Voor a< -2 te schrijven als:

L = lim exp(-1/2 . x^-p) met p>0

Deze limiet bestaat alleen als x van boven nul nadert (min oneindig in de exponent -> L=0)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Limiet van een functie = functie van de limiet?

Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?

Re: Limiet van een functie = functie van de limiet?