Het probleem is dat je hier een projectie van het oppervlak gebruikt.
Dit kan een niveaukromme zijn voor een bepaald oppervlak.
Maar door de projectie van je oppervlak op een 2D coordinatenstelsel, gaat er logischerwijs informatie verloren.
Ik heb even geprobeerd wat aanschouwelijke figuren te maken voor de functie(hiervoor had ik controle data)
\(f(x,y) = -\frac{x^2}{6}- \frac{y^2}{6}\)
.
Ik heb dan een zogenaamde Contourplot gemaakt waarop de niveaukrommes doormiddel van kleuren worden aangegeven. De pijl geeft de gradient in het punt
1 met
\((x,y) = (\sqrt{2},-1)\)
.
- Niveaukromme.png (24.82 KiB) 1253 keer bekeken
De 2de plot, het 3D oppervlak is niet echt bruikbaar maar voor de volledigheid heb ik deze toch even gemaakt. Zie hiervoor de bijlage.
Over je tweede punt in verband met de steilste helling.
Je weet dat je de helling in een bepaalde richting kan vinden met een richtingsafgeleide?
Deze is (vaak)
2 gedefinieerd als
\(\nabla_{\hat{u}} f(x,y) = \hat{u}\cdot \nabla f(x,y)\)
Dan volgt uit
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cos\theta\)
Dat de richtingsafgeleide maximaal is in de richting die exact samenvalt met de gradient-vector. Aangezien we de vector
\(\hat{u}\)
een eenheidsvector kiezen in de definitie.
Voetnoot:
1. Ik heb dit punt gekozen omdat het mooi overeenkomt met een scheidingslijn in de contourplot. Deze komt overeen met de niveaukromme f(x,y) = -0.5
2. Pas nadat ik op enkele pagina's (bijvoorbeeld wikipedia) een andere definitie met een algemene vector zag heb ik deze toevoeging gedaan. Hier zou anders een probleem kunnen ontstaan door vectoren van verschillende lengte te gebruiken.
