Directe somruimten: bewijs

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 36

Directe somruimten: bewijs

Hallo iedereen,

Stel dat je in U 3 deelruimten hebt (V1,V2 en V3) en

indien je een directe som hebt van v1 + v2 en

een directe som van v1 +v3,

dan kan je zeggen dat V2=V3

Maar hoe kan deze stelling bewijzen?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Directe somruimten: bewijs

Kijk eens of je er uit komt door van de definitie van een directe som uit te gaan. Hint: als U en V de directe som W hebben, waarbij u in U, v in V en w in W zit, hoe wordt W dan via u en v gedefinieerd?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 36

Re: Directe somruimten: bewijs

mathfreak schreef: za 15 mar 2014, 19:27
Kijk eens of je er uit komt door van de definitie van een directe som uit te gaan. Hint: als U en V de directe som W hebben, waarbij u in U, v in V en w in W zit, hoe wordt W dan via u en v gedefinieerd?
W wordt gedefineerd door alle unieke sommen van de v'tjes en de u'tjes, maw:

W = v1+u1, v1+u2,v1+u3...

v2+u1, v2+u3, v3+u3...,

v3+u1...

En in een directe som is de doorsnede de nulvector, maar ik zie de link niet :s

Berichten: 45

Re: Directe somruimten: bewijs

Dit is hoe ik het bewijs dacht op te lossen maar ik ben er totaal niet zeker van! Neem het dus zeker niet over alvorens andere mensen dit bewijs ofwel goedkeuren, ofwel verbeteren! Ik was immers ook op zoek naar het bewijs van deze stelling, maar ik heb ook de oplossing niet gevonden!
 
\(\text{Veronderstel }U_1, U_2\text{ en }U_3\text{, deelruimten van } V\)
\(\text{Beschouw nu }W = U_1 \oplus U_2 = U_1 \oplus U_3 \Rightarrow U_1 = U_3\)
Wegens de definitie van de directe som kunnen we stellen dat volgende stellingen gelden:
\(W = U_1 + U_2 \text{ en } W = U_1 + U_3\)
en
\(U_1 \cap U_2 = \{0\} \text{ en }U_1 \cap U_3= \{0\}\)
We kunnen W dus als volgt voorstellen:
\(W = \{u_1+u_2\mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}\)
en tegelijk 
\(W = \{u_1+u_3\mid u_1 \in U_1, u_3 \in U_3\}\)
 
veronderstel nu het volgende:
\(U_2 \neq U_3\)
kies nu  
\(U_1 = \{1,2\}, U_2 = \{3,4\} \text{ en } U_3 = \{5,6\}\)
%opmerking: omwille van de tweede stelling zit 0 ook telkens in deze verzamelingen!
Wanneer we dan W berekenen als volgt:
\(W = U_1 + U_2 \text{ en } W = U_1 + U_3\)
krijgen we:
\(W = \{0,1,2,3,4,5,6\}\text{ en anderzijds }W=\{0,1,2,5,6,7,8\}\)
En deze W's zijn dus niet gelijk, wat wel zou moeten gezien de gelijkheid tussen 
\(W = U_1 \oplus U_2 = U_1 \oplus U_3\)
We vonden dus een eenvoudig tegenvoorbeeld van de ontkenning van de stelling, waardoor we kunnen zeggen dat de stelling correct is.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Directe somruimten: bewijs

Dat bewijs klopt niet. Je redeneert verkeerd. De stelling die je wilt bewijzen gaat als volgt:
\((\forall U_1,U_2, U_3 \subset W)((W=U_1\oplus U_2=U_1\oplus U_3) \Rightarrow (U_2=U_3))\)
[/size]
 
De negatie (of dus ontkenning) van de stelling is dan:
\((\exists U_1,U_2,U_3 \subset W)((W=U_1\oplus U_2=U_1\oplus U_3) \wedge (U_2\neq U_3))\)
 
Het geven van één tegenvoorbeeld van een negatie van een stelling niet voldoende, ik geef een voorbeeldje:
Stelling:
Alle bananen zijn krom
Negatie van stelling:
Er bestaat een banaan die niet krom is.
Jouw redenering:
Ik heb hier één kromme banaan, dat is een tegenvoorbeeld van de negatie van de stelling, de stelling is dus waar.
 
Je ziet dat deze redenering niet klopt, je hebt nu gewoon aangetoond dat er één banaan krom is, niet dat ze allemaal krom zijn.
 
Nu terug naar het oorspronkelijk probleem, die stelling die je wilt bewijzen is trouwens vals (de ontkenning is dus waar). We kijken dus eens naar de ontkenning:
\((\exists U_1,U_2,U_3 \subset W)((W=U_1\oplus U_2=U_1\oplus U_3) \wedge (U_2\neq U_3))\)
Hint, neem bijvoorbeeld als W het vlak. Zoek dan twee deelverzamelingen waarvan de directe som gelijk is aan het vlak. Zoek dan nog een derde die niet gelijk is aan de tweede en merk op dat de directe som van de derde en de eerste ook gelijk is aan het vlak.
 
Mocht je er niet uit geraken:
Spoiler: [+]
Neem nu:
\(W=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{R}\}\)
\(U_1=\{(t,0)| t\in \mathbb{R}\}\)
\(U_2=\{(0,u)| u\in \mathbb{R}\}\)
\(U_3=\{(v,v)| v\in \mathbb{R}\}\)
W is dus het vlak, U1 stelt de x-as voor, U2 stelt de y-as voor en U3 stelt de rechte y=x voor. Merk op dat (als je dit niet direct inziet, leg ik het wel uit): 
\(W=U_1\oplus U_2=U_1\oplus U_3\)
en dat U2 niet gelijk is aan U3. De negatie van de stelling is dus waar en de oorspronkelijke stelling vals.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

Reageer