Eenheidscirkel en reële getallenlijn

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 16-03-'14, 13:48

descheleschilder

Gebruikersavatar
Berichten: 1.156

Eenheidscirkel en re

Als je de eenheidsbol projecteert (eenheidscirkel op de lijn; punt waaruit de projectie plaatsvindt boven op de cirkel, maar dat moge duidelijk zijn) op de reële getallenlijn, is er dan een bijectie tussen beiden, ook al bestaat de cirkel uit de getallen van 0 t/m 2pi, en de reële getallenlijn uit de getallen van - naar + oneindig?
Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!
Omhoog

Bericht 16-03-'14, 13:56

Bartjes

Re: Eenheidscirkel en re

Vergelijk:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Arctangens

Een bijectie tussen R en een eindig interval komt dus wel meer voor....
Omhoog

Bericht 16-03-'14, 17:33

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Eenheidscirkel en re

Bedoel je bol of cirkel? Het gaat allebei hoor.

Je kan bijvoorbeeld een bol op een oneindig groot vlak (
\(\mathbb{R}^2\)
) projecteren. Het is dan zelfs een bijectie, de polaire azimutale projectie is hier een voorbeeld van.

Afbeelding

Je kan gewoon hetzelfde doen met een cirkel op een rechte. Laat immers dit geheel snijden met een vlak loodrecht op het projectievlak en door de twee polen van de bol, krijg je een cirkel die geprojecteerd wordt op de snijlijn van de twee vlakken.

Je kan dus een cirkel projecteren op een (oneindig lange) rechte.

EDIT: Dit is inderdaad een bijectie zoals je aangeeft.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 25-03-'14, 23:23

PeterPan

Re: Eenheidscirkel en re

Je kunt niet een bijectie maken tussen een cirkel en de reële getallenlijn of tussen een bol en het platte vlak.

Je kunt wel een bijectie maken tussen een cirkel, waarin 1 punt ontbreekt en de reële getallenlijn of tussen een bol, waarin 1 punt ontbreekt en het platte vlak.
Omhoog

Bericht 26-03-'14, 14:44

Bartjes

Re: Eenheidscirkel en re

@ PeterPan

Bestaat er volgens jou dan ook geen bijectie tussen [0,1) en R ?
Omhoog

Bericht 26-03-'14, 14:48

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: Eenheidscirkel en re

PeterPan schreef: ↑di 25 mar 2014, 23:23
Je kunt niet een bijectie maken tussen een cirkel en de reële getallenlijn of tussen een bol en het platte vlak.

Je kunt wel een bijectie maken tussen een cirkel, waarin 1 punt ontbreekt en de reële getallenlijn of tussen een bol, waarin 1 punt ontbreekt en het platte vlak.


Je kunt geen continue bijectie maken tussen een cirkel en de reële getallenlijn, of tussen een bol en het platte vlak.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 26-03-'14, 17:29

PeterPan

Re: Eenheidscirkel en re

Bartjes schreef: ↑wo 26 mar 2014, 14:44
@ PeterPan

Bestaat er volgens jou dan ook geen bijectie tussen [0,1) en R ?
Dat is correct, mits (zoals Math-E-Mad-X terecht opmerkt) je het woord continu toevoegt.
Omhoog

Bericht 26-03-'14, 17:42

Bartjes

Re: Eenheidscirkel en re

PeterPan schreef: ↑wo 26 mar 2014, 17:29
Dat is correct, mits (zoals Math-E-Mad-X terecht opmerkt) je het woord continu toevoegt.


Dan zijn we het eens. :)
Omhoog

Bericht 26-03-'14, 19:40

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Eenheidscirkel en re

Discontinu moet wel mogelijk zijn. Iemand een idee hoe dat dan moet?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 26-03-'14, 22:02

Bartjes

Re: Eenheidscirkel en re

Flisk schreef: ↑wo 26 mar 2014, 19:40
Discontinu moet wel mogelijk zijn. Iemand een idee hoe dat dan moet?
Maak eerst een bijectie f tussen R en (a,b) met a < b. Dan heb je een aftelbaar oneindige rij getallen f(1), f(2), f(3), ... , f(n) , ... in (a,b). Laat nu de bijectie g tussen R en [a,b) als volgt gedefinieerd zijn:

g(x) = f(x) voor x ≠ 1, 2, 3, ... , n , ...

g(1) = a

g(2) = f(1)

g(3) = f(2)

g(4) = f(3)

etc.
Omhoog

Bericht 27-03-'14, 14:28

PeterPan

Re: Eenheidscirkel en re

In de complexe functie theorie wordt
\(\mathbb{C}\cup \{\infty\}\)
geïndentificeerd met een bol.

Dat heeft het voordeel dat je werkt op een compacte ruimte en dat oneindig niet meer een speciale behandeling behoeft. Oneindig is gewoon een van de punten op de bol. Je kunt dan bijvoorbeeld ook spreken van een pool in oneindig van orde 2.
Omhoog

Bericht 28-03-'14, 22:30

descheleschilder

Gebruikersavatar
Berichten: 1.156

Re: Eenheidscirkel en re

Bedoel je met een pool een waarde van een complexe functie die naar oneindig gaat voor een zeker complex getal?
Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!
Omhoog

Bericht 28-03-'14, 23:40

317070

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: Eenheidscirkel en re

bijectie tussen [0,1) en R ?
Discontinu moet wel mogelijk zijn. Iemand een idee hoe dat dan moet?
  • als x=0:

    f(x) = arctanh(1/2)
  • anders als x=p/q:

    f(x) = arctanh(p/(q+1))
  • anders:

    f(x) = arctanh(2x-1)
In essentie moet je een oneindige, aftelbare subset nemen en die allemaal eentje doorschuiven totdat je randpunten er ook bij passen.

Edit: en bij deze begrijp ik nu ook Bartjes zijn eerder berichtje. :)
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-
Omhoog

Bericht 29-03-'14, 10:32

PeterPan

Re: Eenheidscirkel en re

descheleschilder schreef: ↑vr 28 mar 2014, 22:30
Bedoel je met een pool een waarde van een complexe functie die naar oneindig gaat voor een zeker complex getal?


f heeft een pool van orde 2 in oneindig indien 1/f een nulpunt van orde 2 in oneindig heeft.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”