[wiskunde] nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

mcfaker123

Hallo,

Ik heb 2 stellingen in mijn boek en ze zien er als volgt uit:

Stelling 1:
Nodige voorwaarden voor een relatief extremum:

Als f een relatief extremum bereikt in a en afleidbaar is in a, dan is f'(a) =0.

Stelling 2:
Voldoende voorwaarden voor een relatief extremum:
Afbeelding

Ik snap dan niet wat er bedoeld wordt met nodige en voldoende voorwaarde. Hoeveel ik er ook over nadenk, ik versta niks wat ermee wordt bedoeld.
Heb ik deze 2 stellingen wel nodig eigenlijk?

Want je hebt de gewone definitie van een relatief extremum die alles uitlegt en die ik snap:
Afbeelding

Volgens mij is dit genoeg, maar ik snap niet wat ze nog willen bereiken/ willen zeggen met nog een nodige & voldoende voorwaarde?

Hartelijk bedankt!

tempelier

Nodig wil zeggen dat het niet genoeg is:

De eerste stelling zegt dat als f differtieerbaar is in a en er is een extreem dan moet f'(a)=0 gelden.

Voldoende is dit echter niet er zou ook sprake kunnen zijn van horizontaal buigpunt.

zoals voor x=0 in

\(f(x)=x^3\)

------------------------------

Voldoende wil zeggen dat je dan zekerheid hebt,
maar soms kan het met wat minder.

aadkr

bedoel je met relatieve extremen , lokale extremen, dus een lokaal maximum of een lokaal minimum?

Anton_v_U

Voorbeeld:

Wanneer is een veelhoek een rechthoekige driehoek? Kijk naar de volgende voorwaarden:

1) het is een driehoek
2) één van de hoeken is 90 graden
3) twee van de drie hoeken zijn samen precies 90 graden

(1) is nodig maar niet voldoende want er zijn ook niet rechthoekige driehoeken
(1) (2) en (3) zijn voldoende maar niet nodig want (2) of (3) is overbodig
(1) en (2) of (1) en (3) zijn nodig en voldoende dwz het is een minimale set aan condities waarmee met zekerheid kan worden vastgesteld dat de figuur een rechthoekige driehoek is.

tempelier

Ik heb er nog even over nagedacht.

Maar Stelling 1 is onjuist (geformuleerd) dacht ik.

mcfaker123

Aadkr, Ik bedoel inderdaad een lokaal mininum/maximum.
Tempelier, Ik dacht net ook dat de eerste stelling fout geformuleerd is. Na wat denken kwam ik tot de conclusie dat de stelling er zo uit moest zien:

Nodige voorwaarde voor een relatief extremum in a (in een functie die afleidbaar is in a):

f'(a) =0

En dat is al! Ben ik correct Tempelier?

tempelier

mcfaker123 schreef: Aadkr, Ik bedoel inderdaad een lokaal mininum/maximum.
Tempelier, Ik dacht net ook dat de eerste stelling fout geformuleerd is. Na wat denken kwam ik tot de conclusie dat de stelling er zo uit moest zien:

Nodige voorwaarde voor een relatief extremum in a (in een functie die afleidbaar is in a):

f'(a) =0

En dat is al! Ben ik correct Tempelier?

Yep.

Immers een keerpunt kan ook een extreem zijn.

mcfaker123

Bedankt!

Ik snap het nu denk ik: Als aan de voldoende voorwaarde voldaan is, dan zal er automatisch een relatief extremum zijn.

Nu als aan de nodige voorwaarde voldaan is, dan betekent dat niet dat er automatisch een relatief extremum is. Dan kan het zijn dat we misschien wel een relatief extremum hebben , maar misschien ook niet.

tempelier

mcfaker123 schreef: Bedankt!

Ik snap het nu denk ik: Als aan de voldoende voorwaarde voldaan is, dan zal er automatisch een relatief extremum zijn.

Nu als aan de nodige voorwaarde voldaan is, dan betekent dat niet dat er automatisch een relatief extremum is. Dan kan het zijn dat we misschien wel een relatief extremum hebben , maar misschien ook niet.

Klopt helemaal.

Hopelijk zie je gelijk in dat het op veel meer toepasbaar is.

mcfaker123

Ok, dat is goed dan. Bedankt voor de hulp iedereen! Ik apprecieer de hulp enorm.

tempelier

graag gedaan hoor.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum

Re: nodige en voldoende voorwaarden van een relatief extremum