[wiskunde] wat is de uitkomst van deze reeks

aadkr

stel:ik heb de volgende reeks;

\(1-\frac{1}{3\cdot 3!}+\frac{1}{5 \cdot 5!}-\frac{1}{7 \cdot 7!}+\frac{1}{9 \cdot 9!}_......\)

is het dan mogelijk om te bepalen of deze oneindig doorlopende reeks een vast getal als uitkomst geeft.
ik zie het niet.
iemand die mij wilt helpen?

tempelier

aadkr schreef: stel:ik heb de volgende reeks;
\(1-\frac{1}{3\cdot 3!}+\frac{1}{5 \cdot 5!}-\frac{1}{7 \cdot 7!}+\frac{1}{9 \cdot 9!}_......\)
is het dan mogelijk om te bepalen of deze oneindig doorlopende reeks een vast getal als uitkomst geeft.
ik zie het niet.
iemand die mij wilt helpen?

Ik weet niet wat een vast getal is, heb je ook losse getallen dan?

Maar de reeks voldoet aan het kenmerk van Leibnitz en heeft dus een limiet som.

Schrijf eens de reeks ontwikkeling op van sin x dan moet je iets opvallen.

aadkr

Tempelier, ik zal in de vele wiskunde boeken die ik bezit eens zoeken wat het kenmerk van Leibnitz inhoud
Ik heb tijdens mijn schoolopleiding nooit les gehad in de threorie over rijen en reeksen.

tempelier

Als de termen dalen naar nul en alterneren ( dus van teken wisselen ) dan het hij volgens Leibnitz een limiet som.

Ook is de fout als je bij de nde-term afbreekt kleiner dan de term (n+1).

aadkr

\(\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-.........\)

wat moet mij nu opvallen?

tempelier

Als je de reeks ontwikkeling neemt van :

\(\frac{\sin x}{x}\)

(Kun je krijgen door gewoon elke term door x te delen.)

Dan vervolgens elke term integreert naar x.

Dan krijg je voor x=1 .......

PS.

Het gaat bij jouw reeks om een bijzonder geval van de functies si(x) en Si(x).
Ging er van uit dat je die kende, maar ik liep kennelijk wat te hard van stapel.

aadkr

\(\frac{\sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-..........\)

\(\int \frac{\sin(x)}{x} \cdot dx=\int \left( 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-......\right) \cdot dx\)

wat hier uitkomt moet ik nog berekenen, even geduld.

tempelier

Je notatie is niet geheel correct ik heb ze wat aangepast:

Code: Selecteer alles

[tex]h(p) = \int_{0}^{p} \frac{\sin(x)}{x} dx =
\int_{0}^{p}  \left( 1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-......\right)
 \cdot dx[/tex]

Gaat iets mis, pas het zo snel als mogelijk aan.
Even geduld hoor.

Het lukt me maar niet, onder Gummi werkt het wel.

misschien is mis met de bepaalde integraal:

\(h(p) = \int_{0}^{p} \frac{ \sin(x) } {x} dx = \int_{0}^{p}\left[1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\cdots\cdots\right]dx =\)

Nou dat viel niet mee.

aadkr

uit die onbepaalde integraal komt:

\(x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5 \cdot 5!}-\frac{x^7}{7 \cdot 7!}+\frac{x^9}{9 \cdot 9!}-.........\)

als ik x=1 invul ,krijg ik de reeks die in mijn eerste bericht staat.
hoe nu verder?

tempelier

aadkr schreef: uit die onbepaalde integraal komt:
\(x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5 \cdot 5!}-\frac{x^7}{7 \cdot 7!}+\frac{x^9}{9 \cdot 9!}-.........\)
als ik x=1 invul ,krijg ik de reeks die in mijn eerste bericht staat.
hoe nu verder?

Het heeft wat lange geduurd dacht dat je wel wist dat:

\(Si(x)=\int_0^x\frac{\sin(t)}{t}dt\)

Maar dat je niet gezien had dat je reeks gewoon Si(1) was en dat er slechts een zetje daar voor nodig was om het te zien.

Si(1)=0.946083070367.......

Bij mijn weten is er geen andere omschrijving bekend net zoals voor bijvoorbeeld (ln 2).

Zie voor wat meer:

http://en.wikipedia.org/wiki/Sine_integral#Sine_integral

aadkr

Tempelier, mag ik dan die bepaalde integraal als volgt schrijven:

\(Si(x)=\int_{t=0}^{t=x} \frac{\sin(t)}{t} \cdot dt \)

wat ik bedoel te vragen is of ik die ondergrens en die bovengrens goed heb ingevuld

tempelier

aadkr schreef: Tempelier, mag ik dan die bepaalde integraal als volgt schrijven:
\(Si(x)=\int_{t=0}^{t=x} \frac{\sin(t)}{t} \cdot dt \)
wat ik bedoel te vragen is of ik die ondergrens en die bovengrens goed heb ingevuld

Er staat niets verkeerds, het is het zelfde als wat ik noteerde.
Alleen jouw notatie benadrukt nog eens extra dat het om de grenzen van t gaat.

Hoort die reeks in een groter verband of trok hij gewoon je belangstelling?

PS.

Je zult het wel gezien hebben maar formeel moet ook de ondergrens t=0 worden ingevuld.
Je zou dan twee reeksen krijgen maar t=0 maakt alle termen nul enz.

aadkr

Tempelier, hoe kom je aan dat nauwkeurige antwoord.
heb je dat op je rekenmachine uitgerekend?
hoeveel termen van de reeks heb je berekend?
ik ben niet verder gegaan dan de term

\(\frac{1}{11 \cdot 11!}\)

dan kom ik aardig in de buurt van jouw antwoord , maar jij hebt waarschijnlijk nog meer termen berekend.
de reeks trok gewoon mijn belangstelling , omdat ik nooit les heb gehad in het oplossen van oneindig doorlopende reeksen.

tempelier

aadkr schreef: Tempelier, hoe kom je aan dat nauwkeurige antwoord.
heb je dat op je rekenmachine uitgerekend?
hoeveel termen van de reeks heb je berekend?

Ik heb het laten uitreken door Maple.
Gewoon ingetikt dus.
Gewone rekenmachienes zullen dit wel niet kunnen.

Maar omdat je reeks aan het kenmerk van Leibniz voldoet kan het ook zo:

Bereken de som van de termen die je gegeven hebt tot op de een na laatste:

Dat geeft dat de (afgeronde) som is: 0.9460830726323......

Bereken nu de laatste term die is: -0.000000002277.....

De afgeronde som wijkt nu minder van de werkelijke waarde af als de waarde van die term hierboven.

aadkr

hartelijk dank Tempelier voor je uitleg en je geduld
aad

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] wat is de uitkomst van deze reeks

wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks

Re: wat is de uitkomst van deze reeks