Complexe getallen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 232
Complexe getallen
Is ii ? Ik dacht van niet, aangezien [wortel]ii2 = [wortel]i-1 = -i = 4 1
Aangezien |ii| , is ii dit ook niet.
Aangezien |ii| , is ii dit ook niet.
- Berichten: 24.578
Re: Complexe getallen
i^i is wel reëel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.
i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)
i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Complexe getallen
fysicusje in spe schreef:Is ii ? Ik dacht van niet, aangezien [wortel]ii2 = [wortel]i-1 = -i = 4 1
Aangezien |ii| , is ii dit ook niet.
Heb je de definitie van z^w gezien (en geleerd) voor z,w complex?
- Berichten: 5.679
Re: Complexe getallen
Nog een opmerking:
Als z = a+b[.]i (met a,b ) dan |z| = (a2+b2)
|z| (en [grotergelijk]0) voor ieder complex getal z.Aangezien |ii|
Als z = a+b[.]i (met a,b ) dan |z| = (a2+b2)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 232
Re: Complexe getallen
Dankje voor de reacties,
@TD! : jouw uitleg snap ik, dacht wel dat er zo een manier was maar had er niet meer aan gedacht
@Safe: neen, dat hebben wij niet gezien
@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| ?
@TD! : jouw uitleg snap ik, dacht wel dat er zo een manier was maar had er niet meer aan gedacht
@Safe: neen, dat hebben wij niet gezien
@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| ?
- Berichten: 5.679
Re: Complexe getallen
Ik denk het, hoe kom je bij dat idee dan?@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| ?
In ieder geval geldt voor elk complex getal z dat |z| en 0 (zie definitie van modulus hierboven).
En als z,w dan is zw ook een complex getal (tenzij z=w=0, dan is het niet gedefinieerd).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
- Berichten: 5.679
Re: Complexe getallen
Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert, want i^(i^(i^i)) is niet reëel maar ((i^i)^i)^i weer wel (en zo iedere voortgezette macht van die laatste vorm met een even aantal i's)i^i is wel reëel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Complexe getallen
onjuist bewijsi kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)
correcte opmerkingHeb je de definitie van z^w gezien (en geleerd) voor z,w complex?
zw = PER DEFINITIE ew.ln(z)
Dus ii = ei.ln(i) met ln(i) = ln|i| + i.arg(i) = i. /2.
Dus ii = e- /2.
Dat deze uitkomst overeenkomt met die van TD! is puur toeval.
Zie de volgende ramp:
bereken (ii)i.
Een makkelijke oplossing is
(ii)i = ii.i = i-1 = -i.
De juiste oplossing is:
(ii)i = ei.log(ii) = e(i.e- /2) en dat is garandeer ik je -i.
!!!!!!!!!!
- Berichten: 5.679
Re: Complexe getallen
Weet je dat laatste heel zeker?PeterPan schreef:Zie de volgende ramp:
bereken (ii)i.
Een makkelijke oplossing is
(ii)i = ii.i = i-1 = -i.
De juiste oplossing is:
(ii)i = ei.log(ii) = e(i.e- /2) en dat is garandeer ik je -i.
!!!!!!!!!!
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Complexe getallen
Fouten maken is onmenselijkWeet je dat laatste heel zeker?
Dan maar een iets trivialer voorbeeld:
(e2 i)i = e2 i.i = e-2 is een foute afleiding.
(e2 i)i = ei.ln(e2 i) = e0 = 1.
Dit lijkt ook meer op jouw foute afleiding
i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)
- Berichten: 24.578
Re: Complexe getallen
Ik had het uiteraard over die eerste manier van schrijven, anders is er geen sprake van opbouwende machten natuurlijk.Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert, want i^(i^(i^i)) is niet reëel maar ((i^i)^i)^i weer wel (en zo iedere voortgezette macht van die laatste vorm met een even aantal i's)TD! schreef:i^i is wel reëel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.
De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk i). In mijn afleiding is hierin k = 0 genomen, b was i. Het blindelings toepassen van de eerstgenoemde regel kan inderdaad tot fouten leiden, de notatie was dan ook onzorgvuldig, het resultaat echter juist.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Complexe getallen
PeterPan schreef:zw = PER DEFINITIE ew.ln(z)
Dus ii = ei.ln(i) met ln(i) = ln|i| + i.arg(i) = i. /2.
Dus ii = e- /2.
Dat deze uitkomst overeenkomt met die van TD! is puur toeval.
Juist, hier wilde ik naar toe.
Maar de log (complex) is een meerwaardige functie, zodat z^w eveneens meerwaardig (TD merkt dit in tweede instantie ook op).
Dus: log(z)=ln|z|+i*Arg(z)+i*k2π,
of ook log(z)=ln|z|+i*arg(z), waarbij arg(z)=Arg(z)+k2π, Arg(z) is hier de zogenaamde hoofdwaarde.
Re: Complexe getallen
Nee.Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert
abc is per definitie a(bc).
Waarom zou i^i^i^...^i niet heel vaak reeel kunnen zijn?
Bewijs?
Hier snap ik niets van. Wat staat daar nou.De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk i).
De zaak ligt wel ietje gecompliceerder. zw is slechts gedefinieerd op zonder een pad van 0 naar oneindig dat met elke cirkel om 0 slechts 1 snijpunt heeft.En als z,w dan is zw ook een complex getal (tenzij z=w=0, dan is het niet gedefinieerd)
- Berichten: 24.578
Re: Complexe getallen
Dat schreef ik niet, maar Rogier - waarom je mij dan 'quote' is me een raadsel. Verder lijkt me dat ook geen definitie, maar een conventie, maar het zou best kunnen.PeterPan schreef:Nee.TD! schreef:
Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert
abc is per definitie a(bc).
Hoe ik het noteerde is, in jouw veronderstelling van vastliggende definitie, wel de manier hoe ik het bedoelde.
Dit heb ik niet bewezen, maar als interessant weetje van Mathworld onthouden.Waarom zou i^i^i^...^i niet heel vaak reeel kunnen zijn?Bewijs?
Wat hier staat is de uitbreiding van de rekenregel voor een macht tot een macht naar het complexe geval, rekening houdend met het feit dat e^z periodisch is met periode 2 i. Het volgt ook uit het feit dat Ln(e^z) = z + 2k i, waar ik met Ln de complexe natuurlijke logaritme bedoel (om een onderscheid te maken met de reële).PeterPan schreef:Hier snap ik niets van. Wat staat daar nou.TD! schreef:
De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk i).