Complexe getallen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 232

Complexe getallen

Is ii :P :P ? Ik dacht van niet, aangezien [wortel]ii2 = [wortel]i-1 = :roll: -i = 4 :P 1

Aangezien |ii| :) :D , is ii dit ook niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe getallen

i^i is wel reëel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.

i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe getallen

fysicusje in spe schreef:Is ii   :P   :P ? Ik dacht van niet, aangezien  [wortel]ii2 = [wortel]i-1 = :roll: -i = 4 :P 1

Aangezien |ii|   :)   :D , is ii dit ook niet.


Heb je de definitie van z^w gezien (en geleerd) voor z,w complex?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Complexe getallen

Nog een opmerking:
Aangezien |ii|   :)   :P
|z| :P :P (en [grotergelijk]0) voor ieder complex getal z.

Als z = a+b[.]i (met a,b :roll: :D ) dan |z| = :P (a2+b2)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Berichten: 232

Re: Complexe getallen

Dankje voor de reacties,

@TD! : jouw uitleg snap ik, dacht wel dat er zo een manier was maar had er niet meer aan gedacht

@Safe: neen, dat hebben wij niet gezien

@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| :roll: :P ?

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Complexe getallen

@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| :)   :P ?
Ik denk het, hoe kom je bij dat idee dan?

In ieder geval geldt voor elk complex getal z dat |z| :roll: :P en :P 0 (zie definitie van modulus hierboven).

En als z,w :P :D dan is zw ook een complex getal (tenzij z=w=0, dan is het niet gedefinieerd).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Complexe getallen

i^i is wel reëel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.
Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert, want i^(i^(i^i)) is niet reëel maar ((i^i)^i)^i weer wel (en zo iedere voortgezette macht van die laatste vorm met een even aantal i's)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Re: Complexe getallen

i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)
onjuist bewijs
Heb je de definitie van z^w gezien (en geleerd) voor z,w complex?
correcte opmerking

zw = PER DEFINITIE ew.ln(z)

Dus ii = ei.ln(i) met ln(i) = ln|i| + i.arg(i) = i. :D /2.

Dus ii = e- :roll: /2.

Dat deze uitkomst overeenkomt met die van TD! is puur toeval.

Zie de volgende ramp:

bereken (ii)i.

Een makkelijke oplossing is

(ii)i = ii.i = i-1 = -i.

De juiste oplossing is:

(ii)i = ei.log(ii) = e(i.e- :) /2) en dat is garandeer ik je :P -i.

!!!!!!!!!!

Gebruikersavatar
Berichten: 5.679

Re: Complexe getallen

PeterPan schreef:Zie de volgende ramp:  

bereken (ii)i.

Een makkelijke oplossing is

(ii)i = ii.i = i-1 = -i.

De juiste oplossing is:

(ii)i = ei.log(ii) = e(i.e- :P /2) en dat is garandeer ik je   :D -i.  

!!!!!!!!!!
Weet je dat laatste heel zeker? :roll:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Re: Complexe getallen

Weet je dat laatste heel zeker? :P
Fouten maken is onmenselijk :P

Dan maar een iets trivialer voorbeeld:

(e2 :) i)i = e2 :P i.i = e-2 :roll: is een foute afleiding.

(e2 :P i)i = ei.ln(e2 :D i) = e0 = 1.

Dit lijkt ook meer op jouw foute afleiding
i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)

Re: Complexe getallen


Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe getallen

TD! schreef:i^i is wel reëel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.
Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert, want i^(i^(i^i)) is niet reëel maar ((i^i)^i)^i weer wel (en zo iedere voortgezette macht van die laatste vorm met een even aantal i's)
Ik had het uiteraard over die eerste manier van schrijven, anders is er geen sprake van opbouwende machten natuurlijk.

De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk :roll: i). In mijn afleiding is hierin k = 0 genomen, b was i. Het blindelings toepassen van de eerstgenoemde regel kan inderdaad tot fouten leiden, de notatie was dan ook onzorgvuldig, het resultaat echter juist.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Complexe getallen

PeterPan schreef:zw = PER DEFINITIE ew.ln(z)

Dus ii = ei.ln(i) met ln(i) = ln|i| + i.arg(i) =  i. :roll: /2.

Dus ii = e- :P /2.

Dat deze uitkomst overeenkomt met die van TD! is puur toeval.


Juist, hier wilde ik naar toe.

Maar de log (complex) is een meerwaardige functie, zodat z^w eveneens meerwaardig (TD merkt dit in tweede instantie ook op).

Dus: log(z)=ln|z|+i*Arg(z)+i*k2π,

of ook log(z)=ln|z|+i*arg(z), waarbij arg(z)=Arg(z)+k2π, Arg(z) is hier de zogenaamde hoofdwaarde.

Re: Complexe getallen

Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert
Nee.

abc is per definitie a(bc).

Waarom zou i^i^i^...^i niet heel vaak reeel kunnen zijn?

Bewijs?
De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk :D i).
Hier snap ik niets van. Wat staat daar nou.
En als z,w   :P   :roll:   dan is zw ook een complex getal (tenzij z=w=0, dan is het niet gedefinieerd)
De zaak ligt wel ietje gecompliceerder. zw is slechts gedefinieerd op :) zonder een pad van 0 naar oneindig dat met elke cirkel om 0 slechts 1 snijpunt heeft.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Complexe getallen

PeterPan schreef:
TD! schreef:
Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert
Nee.

abc is per definitie a(bc).
Dat schreef ik niet, maar Rogier - waarom je mij dan 'quote' is me een raadsel. Verder lijkt me dat ook geen definitie, maar een conventie, maar het zou best kunnen.

Hoe ik het noteerde is, in jouw veronderstelling van vastliggende definitie, wel de manier hoe ik het bedoelde.
Waarom zou i^i^i^...^i niet heel vaak reeel kunnen zijn?Bewijs?
Dit heb ik niet bewezen, maar als interessant weetje van Mathworld onthouden.
PeterPan schreef:
TD! schreef:
De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk :P i).
Hier snap ik niets van. Wat staat daar nou.
Wat hier staat is de uitbreiding van de rekenregel voor een macht tot een macht naar het complexe geval, rekening houdend met het feit dat e^z periodisch is met periode 2 :D i. Het volgt ook uit het feit dat Ln(e^z) = z + 2k :roll: i, waar ik met Ln de complexe natuurlijke logaritme bedoel (om een onderscheid te maken met de reële).

Reageer