berekenen onbepaalde integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

berekenen onbepaalde integraal

\(\int \frac{2x^3+x}{(x-2)^2 \cdot (x^2-3x-4)} \cdot dx \)
het zal wel iets met breuksplitsen te maken hebben, maar ik heb dat breuksplitsen nooit begrepen.
daar moet toch een bepaalde theorie achter zitten.
 

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: berekenen onbepaalde integraal

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: berekenen onbepaalde integraal

Je kan de noemer verder ontbinden ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: berekenen onbepaalde integraal

ikkan de noemer schrijven als:
(x-2).(x-2).(x+1).(x-4)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: berekenen onbepaalde integraal

Je kan nu de volgende splitsing onderzoeken:
 
\( \frac a {x-2}+\frac b {(x-2)^2}+\frac c {x-4}+\frac d {x+1}=...\)
 
Hierin zijn a, b, c en d natuurlijk nog te bepalen (gewone) getallen ...

Berichten: 103

Re: berekenen onbepaalde integraal

aadkr:

het zal wel iets met breuksplitsen te maken hebben, maar ik heb dat breuksplitsen nooit begrepen.
 
daar moet toch een bepaalde theorie achter zitten.
 
 
 
Die theorie is er ook. Breuksplitsen is niet meer en niet minder het omgekeerde van het gelijknamig maken van breuken zodat je ze kunt optellen. Een goede duidelijke inleiding is:
 
http://www.wisnet.nl/courses/WisnetMetha/BASIS/basislaag/AlleBreuken/breuksplitsen.pdf

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: berekenen onbepaalde integraal

is het volgende goed?
\(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{x-4}+\frac{d}{x+1}=\frac{2x^3+x}{(x-2)^2\cdot (x^2-3x-4)}\)
 

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: berekenen onbepaalde integraal

aadkr schreef: is het volgende goed?
\(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{x-4}+\frac{d}{x+1}=\frac{2x^3+x}{(x-2)^2\cdot (x^2-3x-4)}\)
 
Ja, dit is goed. Vermenigvuldig nu links en rechts met (x-2)2(x2-3x-4) en werk dat vervolgens verder uit.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: berekenen onbepaalde integraal

aadkr schreef:
\(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{x-4}+\frac{d}{x+1}=\frac{2x^3+x}{(x-2)^2\cdot (x^2-3x-4)}\)
 
Schrijf liever:
 
\(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{(x-2)^2}+\frac{c}{x-4}+\frac{d}{x+1}=\frac{2x^3+x}{(x-2)^2(x-4)(x+1)}\)
 
Waarom moeten de eerste twee termen (links) aanwezig zijn ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: berekenen onbepaalde integraal

Safe schrijft:waarom moeten de 2 termen links aanwezig zijn.
dat zou ik echt niet weten.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: berekenen onbepaalde integraal

Vraag je dan eens af hoe je tot de breuk rechts kunt komen als bv de tweede term zou ontbreken ...
Als de tweede term ontbreekt wordt de noemer rechts ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: berekenen onbepaalde integraal

sorry voor het lange wachten.
\(2x^3+x=A(x^2-3x-4)+B(x-2)(x^2-3x-4)+C{(x-2)}^2 (x+1)+D{(x-2)}^2 (x-4)\)
\(2x^3+x=(B+C+D)x^3+(A-5B-3C-8D) x^2 +(-3A+2B+20D)x+(-4A+8B+4C-16D)\)
hieruit volgt:
\(B+C+D=2\)
\(A-5B-3C-8D=0\)
\(-3A+2B+20D=1\)
\(-4A+8B+4C-16D=0\)
 

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: berekenen onbepaalde integraal

Maar dit vroeg ik niet ...
 
Het vinden van A,B, C en D is niet zo moeilijk als het nu (misschien) lijkt ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: berekenen onbepaalde integraal

als de tweede term ontbreekt, word volgens mij de noemer rechts:
(x-2).(x-4).(x+1)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: berekenen onbepaalde integraal

Precies, en wat is dan je conclusie ...

Reageer