[wiskunde] deelruimten

Dries Vander Linden

Ik kreeg volgende uitspraken, die ik moest bewijzen/verwerpen met een tegenvoorbeeld:

1)

: pr014.png (73.87 KiB) 593 keer bekeken

2)

: pr015.png (59.91 KiB) 636 keer bekeken

Uitspraak 1 is niet moeilijk te verwerpen, neem bijvoorbeeld W₁={1}, W₂={2}, deelruimten van de reële getallen, dan W₁ U W₂ = {1,2} is een deelruimte van de reële getallen, maar W₁ is geen deel van W₂ en omgekeerd.
De uitspraak is dus vals.

Bij uitspraak 2 vermoed ik ook dat ze vals is, al kan ik hier niet zo makkelijk een tegenvoorbeeld vinden..

Iemand die kan helpen?

Math-E-Mad-X

Dries Vander Linden schreef:

Uitspraak 1 is niet moeilijk te verwerpen, neem bijvoorbeeld W₁={1}, W₂={2}, deelruimten van de reële getallen, dan W₁ U W₂ = {1,2} is een deelruimte van de reële getallen, maar W₁ is geen deel van W₂ en omgekeerd.
De uitspraak is dus vals.

Nee, dit klopt niet want {1} en {2} zijn geen deelruimten! (althans, ik neem aan dat men met 'deelruimte' een lineaire deelruimte bedoelt).

Anton_v_U

Ik heb zojuist aangetoond dat de tweede uitspraak waar is voor verzamelingen maar eerlijk gezegd weet ik niet aan welke eigenschap deelruimten van een vectorruimte moeten voldoen. Kun je dat toelichten? Is dat zoiets als:

als u in de vectorruimte en v in de vectorruimte, dan alfa u + beta v ook in de vectorruimte?

In physics I trust

Anton_v_U schreef: Ik heb zojuist aangetoond dat de tweede uitspraak waar is voor verzamelingen maar eerlijk gezegd weet ik niet aan welke eigenschap deelruimten van een vectorruimte moeten voldoen. Kun je dat toelichten? Is dat zoiets als:

als u in de vectorruimte en v in de vectorruimte, dan alfa u + beta v ook in de vectorruimte?

Inderdaad, som, veelvoud en lineaire combinaties van u en v zijn ook in de vectorruimte.

Math-E-Mad-X schreef:
Nee, dit klopt niet want {1} en {2} zijn geen deelruimten! (althans, ik neem aan dat men met 'deelruimte' een lineaire deelruimte bedoelt).

Ik zie niet wat er verkeerd is aan de redenering van TS.

{1} is toch een deelruimte van R?
EDIT: alle veelvouden, dus ook de nulvector moeten erin zitten, dus ik zie het al

In physics I trust

Dries Vander Linden schreef: Ik kreeg volgende uitspraken, die ik moest bewijzen/verwerpen met een tegenvoorbeeld:

2)
pr015.png

Bij uitspraak 2 vermoed ik ook dat ze vals is, al kan ik hier niet zo makkelijk een tegenvoorbeeld vinden..

Iemand die kan helpen?

Deze klopt wel volgens mij. Denk aan de eigenschappen van de directe som.

Math-E-Mad-X

In physics I trust schreef:

Ik zie niet wat er verkeerd is aan de redenering van TS.

{1} is toch een deelruimte van R?

Nee, want een deelruimte hoort altijd de nulvector te bevatten.

Dries Vander Linden

voor de tweede uitsprak is dit een tegenvoorbeeld:

W1: rechte door de oorsprong
W2: rechte door de oorsprong

-> W1 directe som W2 = vlak opgespannen door W1 en W2

Neem W een vlak door de oorsprong dat W1 en W2 enkel maar in de oorsprong snijdt.
-> W doorsnede vlak(W1,W2) = rechte
-> W doorsnede W1 = {0} / W doorsnede W2 = {0}
-> rechte != {0} -> vals

Nee, want een deelruimte hoort altijd de nulvector te bevatten.

voor de eerste uitspraak, is dit dan een geldig tegenvoorbeeld:

V: driedimensionale ruimte
W1: x-as
W2: y-as

ze zijn geen deel van mekaar, maar de unie is wel een deelruimte van V

Anton_v_U

Okee ik snap het al wat beter. Ik denk nu dat de eerste ook waar is maar dat is nogal intuïtief en dus onbetrouwbaar.

Voorbeeld (geen bewijs) neem twee niet samenvallende vlakken, beide door de oorsprong. Beide vlakken zijn een deelruimte van R³ want lineaire combinaties van punten op zo'n vlak liggen altijd op hetzelfde vlak (daarom moeten ze door de oorsprong). Beide vlakken samen zijn geen deelruimte want lineaire combinaties van punten op beide vlakken liggen tussen beide vlakken in en liggen dus niet op één van beide vlakken.

Een vlak door de oorsprong en een lijn in het zelfde vlak door de oorsprong zijn samen het vlak en dus een deelruimte; de lijn is tevens deelverzameling van het vlak. Als de lijn niet in het vlak loopt dan is dit niet het geval. Dit is denk ik gemakkelijk te generaliseren naar meer dimensies.

Anton_v_U

Dries Vander Linden schreef: voor de eerste uitspraak, is dit dan een geldig tegenvoorbeeld:

V: driedimensionale ruimte

W1: x-as

W2: y-as

ze zijn geen deel van mekaar, maar de unie is wel een deelruimte van V

Nee toch? De x-as is een liniaire deelruimte van R³ want vectorsommen en scalaire producten van vectoren op de x-as zijn weer vectoren op de x-as. Voor de y-as geldt hetzelfde.

De vereniging van de x-as en de y-as zijn alleen de punten die op de x-as en de y-as liggen. Het punt (1,1,0) is net als vele andere punten in het vlak z=0 een lineaire combinatie die niet op de x-as of y-as ligt en de x-as verenigd met de y-as is dus geen lineaire deelruimte.

Dries Vander Linden

Maar vectoren die op de unie van de x-as en y-as liggen zijn toch opnieuw een deelruimte van de driedimensionale ruimte ?

Anton_v_U

Vectoren op de uni van de x-as en de y-as zijn bijvoorbeeld (1,0,0) want die ligt op de x-as en (0,1,0) want die ligt op de y as. De som van deze vectoren is (1,1,0). Maar deze somvector ligt niet op de uni van de x-as en de y-as. Sommatie in deze verzameling is dus niet inwendig, het is dus geen lineaire deelruimte.

(1,1,0) is wel een lineaire combinatie van (1,0,0) en (0,1,0) maar het zal duidelijk zijn dat deze vector (1,1,0) op de uni van de xas en de yas ligt. De verzameling van alle lineaire combinaties van 2 deelruimten zijn samen wel een lineaire deelruimte maar de vereniging van 2 lineaire deelruimten is in het algemeen geen lineaire deelruimte.

aadkr

De deelverzameling U van een vectorruimte X is dan en slechts dan een deelruimte van X indien de volgende 3 voorwaarden gelden.
1)

\(U \neq \emptyset\)

2)

\(voor alle \vec{x},\vec{y} \in U is \vec{x}+\vec{y}\in U \)

3)

\( voor alle \vec{x} \in U en \lambda \in R is \lambda\vec{x} \in U \)

aan de tweede voorwaarde wordt niet voldaan
zie ook het bericht van Anton.

Dries Vander Linden

De deelverzameling U van een vectorruimte X is dan en slechts dan een deelruimte van X indien de volgende 3 voorwaarden gelden.
1)
\(U \neq \emptyset\)
2)
\(voor alle \vec{x},\vec{y} \in U is \vec{x}+\vec{y}\in U \)
3)
\( voor alle \vec{x} \in U en \lambda \in R is \lambda\vec{x} \in U \)
aan de tweede voorwaarde wordt niet voldaan
zie ook het bericht van Anton.

maar voor het tweede heb ik dan toch een geldig tegenvoorbeeld, of niet?

Dries Vander Linden

Even ter verduidelijking:

uitspraak 1 is waar:

bewijs:

=> :

Gegeven: W₁È W₂ is een deelruimte.

Stel nu eens dat W₁ geen deelverzameling is van W₂, en ook niet omgekeerd. Dus er bestaat een w₁ in W₁ die niet in W₂ zit, en er bestaat een w₂ in W₂ die niet in W₁ zit.

w₁+w₂ zit wegens het deelruimtecriterium in de unie W₁ÈW₂. Dus bv in W₁ (geval W₂verloopt volledig analoog). Dan heb je dat w₁+w₂ en -w₁ allebei in W₁ zitten, en dus ook hun som (=w₂) zit in W₁. Dat is een strijdigheid. Conclusie: de onderstelling dat W₁Ë W₂ EN W₂Ë W₁ is fout.

<=:
als W₁ÍW₂ of omgekeerd dan is de unie van de twee gelijk aan de grootste, en is dus een deelruimte.

uitspraak 2 is vals:

tegenvoorbeeld:

W1: rechte door de oorsprong

W2: rechte door de oorsprong

-> W1 directe som W2 = vlak opgespannen door W1 en W2

Neem W een vlak door de oorsprong dat W1 en W2 enkel maar in de oorsprong snijdt.

-> W doorsnede vlak(W1,W2) = rechte

-> W doorsnede W1 = {0} / W doorsnede W2 = {0}

-> rechte != {0} -> vals

Anton_v_U

Tweede stelling: Ik denk dat het somteken in de expressie een exclusive or is.
De exclusive or van 2 niet samenvallende lijnen door de oorsprong is de vereniging van beide lijnen behalve {0}

Je kunt met een waarheidstabel nagaan dat de stelling klopt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] deelruimten

deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten

Re: deelruimten