Een beeld krijgen van de Schrödingervergelijking

entropy

Kan iemand mij helpen met een beeld te krijgen van de Schrödingervergelijking? Ik begrijp dat deze vergelijking wanneer gekwadrateerd of zo de kans geeft een deeltje op een bepaalde plaats aan te treffen. In het geval van een puntbron kan ik me voorstellen dat de kans in de buurt van de bron het grootst is, en dat de kans kwadratisch afneemt met de afstand tot de puntbron. De kans een deeltje aan te treffen op een bepaalde bolvormige schil rond de puntbron (als de ruimte niet gekromd is) is gelijk, en neemt af met de afstand tot de puntbron. Maar hoe zit het dan met bijvoorbeeld gammabursts van een quasar of pulsar? Dat zijn toch bursts van deeltjes in een bepaalde richting in plaats van een bolvormige golf?

sensor

Vergelijk de quasar als bron eens met een richtantenne. In de richtantenne wordt de EM golf in een bepaalde richting uitgestuurd en in andere richtingen gedoofd. Het deeltje is tenslotte een golf die we kunnen doven.
Een gamma burst is juist zo sterk wanneer het geconcentreerd in een bepaalde richting wordt gestraald.

sensor

Het richtingseffect voor EM velden heeft weinig te maken met de Schrödingervergelijking. In het voorbeeld van de gammaburst kun je de Schrödingervergelijking gebruiken voor het elektron in een atoom in de quasar. Voor het richtingseffect van de uitgestraalde fotonen zijn de Maxwell vergelijken meer relevant.

Math-E-Mad-X

entropy schreef: Ik begrijp dat deze vergelijking wanneer gekwadrateerd of zo de kans geeft een deeltje op een bepaalde plaats aan te treffen.

Nee. De schrödingervergelijking kan één of meer oplossingen hebben. De toestand van een deeltje wordt beschreven met een golffunctie, die zo'n oplossing van de schrödingervergelijking moet zijn. En als je het kwadraat van de absolute waarde van die golffunctie neemt, dan vindt je de kansverdeling om het deeltje op een bepaalde plaats te vinden.

physicalattraction

Math-E-Mad-X schreef: En als je het kwadraat van de absolute waarde van die golffunctie neemt, dan vindt je de kansverdeling om het deeltje op een bepaalde plaats te vinden.

Noem het muggenziften, maar je neemt niet het kwadraat van de absolute waarde, maar de absolute waarde van het kwadraat van de golffunctie.

Typhoner

Muggenzift++

Je neemt de complex geconjugeerde van de golffunctie

physicalattraction

Volgens mij maakt dat niets meer uit, als je daarna toch al de absolute waarde neemt:

\(|a \cdot a| = |a \cdot a^{\dagger}|\)

. Of maak ik hier een denkfout?

Math-E-Mad-X

Voor complexe getallen geldt:

\( |a| \cdot |a| = |a \cdot a| = | a \cdot a^{\dagger}|\)

Oftewel: berichten #4 #5 en #6 zijn alledrie correct.

entropy

Okee, bedankt voor de antwoorden allemaal!

Math-E-Mad-X schreef: Nee. De schrödingervergelijking kan één of meer oplossingen hebben. De toestand van een deeltje wordt beschreven met een golffunctie, die zo'n oplossing van de schrödingervergelijking moet zijn. En als je het kwadraat van de absolute waarde van die golffunctie neemt, dan vindt je de kansverdeling om het deeltje op een bepaalde plaats te vinden.

Bestaan er dan ook oplossingen waarbij het kwadraat van de absolute waarde van de golfvorm een jet is?

sensor

Wat is er nodig om vanuit de schrödingervergelijking naar een oplossing te komen. Neem bijvoorbeeld het deeltje in een doos. Ik heb wel een globaal idee maar wel leuk omdat het het in een stappenplan op te zetten.

Anton_v_U

entropy schreef: Bestaan er dan ook oplossingen waarbij het kwadraat van de absolute waarde van de golfvorm een jet is?

Nee, het is wat het is: de golffunctie is een functie die aan elk (tijdstip + punt in de ruimte) een (complex) getal toewijst. Dat is in zekere zin wat het deeltje IS, het is een mathematische beschrijving die dezelfde eigenschappen heeft als het deeltje in het echt. In die zin is de wiskunde niet van echt te onderscheiden... Eén van deze eigenschappen is plaats beweging van het deeltje.

De norm van dit complexe getal in het kwadraat is dus ook een functie van tijd er ruimte, maar dat is dan natuurlijk een reële functie. Noem deze reële functie p(x,t)

Neem op een zeker tijdstip t een piepklein stukje ruimte met volume ΔV zo klein dat binnen dit stukje ruimte p constant is, dan is de kans dat het deeltje op dat tijdstip in dit stukje ruimte aan te treffen evenredig met p(x,t).ΔV. Als je p(x,t) normeert, zodanig dat de volume integraal van p over de gehele ruimte op elk tijdstip gelijk aan 1 is, stelt p dus een tijdafhankelijke ruimtelijke kansdichtheid voor.

De kans dat het deeltje in een begrensd deel van de ruimte: V is, is dus gelijk aan de volume integraal over het volume V.

Een deeltje bevindt zich dan dus niet op een plaats maar het is min of meer uitgesmeerde wolk in de ruimte. Als de plaats min of meer goed bepaald is zoals bij deeltje in een heel klein doosje, wat de beschrijving is van een deeltje dat door bijvoorbeeld elektrische kracht (elektronen in een atoom) of sterke kernkracht (kerndeeltjes in een atoomkern) stevig op zijn plaats wordt gehouden), dan is het een heel klein wolkje - buiten het wolkje is de kansdichtheid (nagenoeg) nul. Als de plaats slecht bepaald is (zoals bij een foton) dan is de waarschijnlijkheidswolk heel uitgebreid.

Als je zegt dat p de kans is om een deeltje exact op een bepaalde plaats aan te treffen, dan heb je de klok horen luiden maar je zit toch helemaal fout want een kansdichtheid is iets anders dan een kans; de kans om een deeltje op een precieze plaats aan te treffen is altijd nul.

Omdat de kansdichtheid tijdsafhankelijk is, wordt (o.a.) de beweging van het deeltje meegenomen in de golffunctie: op het ene moment zit het deeltje voor 99,9999% in het ene stukje ruimte en even later zit het in een ander stukje ruimte. Dat is hetzelfde als te zeggen dat het deeltje is verplaatst van het ene naar het andere stukje.

Als de vergelijking meerdere oplossingen heeft, dan betekent dat niet dat het deeltje wordt beschreven door meerdere golven tegelijk maar dat het deeltje zich in verschillende (energie) toestanden kan bevinden die worden bepaald door de krachten in de ruimte (potentiaalfunctie) waar het deeltje zich bevindt. Door wisselwerking kan het deeltje door absorptie of emissie van energie (foton) van toestand veranderen. De verschillende toestanden kun je slordig gezegd opvatten als eigen frequenties of resonanties binnen het stukje ruimte waar het deeltje wordt vastgehouden. Om die reden zijn energietoestanden gekwantiseerd.

De conclusie is dat de plaats waar het deeltje zich (ongeveer) bevindt of kan bevinden, afhangt van de energietoestand. De energietoestand bepaalt welke oplossing van de golfvergelijking het deeltje beschrijft. De golf bepaalt hoe het deeltje is uitgesmeerd over de ruimte. Dat is geldig totdat het deeltje een interactie ondergaat waardoor de energietoestand verandert en daardoor het deeltje door een andere golf wordt beschreven.

Het meest overtuigende van deze theorie vind ik dat hieruit ook het tunneleffect volgt: het verschijnsel dat een deeltje ontsnapt omdat ook buiten het doosje een residu van de golffunctie bestaat, terwijl dat volgens de klassieke theorie helemaal niet mogelijk is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Een beeld krijgen van de Schrödingervergelijking

Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr

Re: Een beeld krijgen van de Schr