Wetenschapsforum

Bernoulli

De familie Bernoulli was een familie uit Bazel (oorspronkelijk uit Antwerpen) die diverse belangrijke wiskundigen heeft voortgebracht.

De belangrijkste leden waren de broers Jakob Bernoulli (1654-1705) en Johan Bernoulli (1667-1748), die een belangrijke rol speelden in de verbreiding van de analyse van Leibniz, en Daniel Bernoulli (1700-1782), een zoon van Johan, die zich vooral bezighield met toepassingen van de wiskunde in de natuurkunde.

Andere leden van de familie zijn:

   * Nikolaus III Bernouli, wiskundige, broer van Jakob en Johan

   * Nikolaus I Bernoulli (1687-1759), zoon van Nikolaus III

   * Nikolaus II Bernoulli (1695-1727), zoon van Johan. Hij was hoogleraar rechten in Bazel en vertrok met Daniel naar Sint-Petersburg, waar hij echter al spoedig overleed.

   * Johan II Bernoulli (1710-1790), zoon van Johan, hoogleraar wiskunde te Bazel

   * Johan III Bernoulli (1744-1807), zoon van Johan II, directeur van de sterrenwacht in Berlijn

   * Daniel II Bernoulli (1757-1834), zoon van Johan II, hoogleraar te Bazel

   * Jakob II Bernoulli (1759-1789), zoon van Johan II, medewerker aan de academie van Sint-Petersburg

Een nog belangrijker lid van de Bazeler wiskundige groep was Leonhard Euler, een leerling van Johan Bernoulli, die wordt beschouwd als een van de grootste wiskundigen aller tijden.

Geschiedenis van de kansrekening

Kansrekening of waarschijnlijkheidsrekening vindt z'n oorsprong in de frivole wereld van dobbelen en kaarten. De Franse Chevalier de Méré bemerkte bij het dobbelen dat het kansrijker was om in 4 worpen met één dobbelsteen minstens een keer zes te gooien, dan in 24 worpen met twee dobbelstenen minstens een keer dubbel zes. Aangezien deze kansen respectievelijk 0,518 en 0,491 zijn, toont dit wel aan wat een fervent dobbelaar De Méré was. Hij schreef hierover aan Blaise Pascal, een 17e-eeuwse Franse wiskundige, die samen met Pierre de Fermat, een andere Franse wiskundige, een theorie ontwikkelde. De moderne theorie is van de hand van de Russische wiskundige Kolmogorov, die in 1934 het leerboek "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" in het Duits publiceerde met daarin een axiomatische aanpak van de kansrekening.

Bron

Axioma's van de kansrekening

Gedurende lange tijd werd kansrekening bedreven op grond van experimenten met een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. Op tamelijk gekunstelde wijze werden situaties die niet direct op deze wijze beschreven konden worden zo gemodelleerd dat zij toch in dit framewerk pasten. Meer en meer leidde dit tot onoverkomelijke moeilijkheden in de theorie. In 1934 doorbrak Kolmogorov de impasse door een axiomatische aanpak van de kansrekening voor te stellen.

Bij kansrekening hebben we te maken met een willekeurige (niet-lege) verzameling Ω en een collectie deelverzamelingen daarvan, de gebeurtenissen. Op de collectie gebeurtenissen is een kans Pr (van 'Probabilitas') gedefinieerd. De verzameling Ω kan worden gezien als de mogelijke uitkomsten van een kansexperiment; daarom wordt Ω de 'uitkomstenruimte' genoemd. Over het algemeen kan niet iedere deelverzameling van Ω als gebeurtenis optreden. De kans Pr moet voldoen aan de volgende voorwaarden, de zgn. axioma's van Kolmogorov:

1. Voor iedere gebeurtenis geldt dat Pr(A) geq 0 (een kans is niet negatief).

2. Pr(Ω) = 1 (de totale kans is genormeerd op één).

3. Voor een rij disjuncte gebeurtenissen (A_k^{ }), dus met A_icap A_j=emptyset voor ongelijke i en j, geldt: Pr(cup A_k) = sum Pr(A_k). (In woorden: voor gebeurtenissen die niet tegelijkertijd kunnen optreden, kun je de kans dat een van deze gebeurtenissen optreedt, berekenen als de som van de kansen op de afzonderlijke gebeurtenissen.)

Een dergelijk drietal (Ω, verzameling der gebeurtenissen, Pr) is een bijzonder geval van een maatruimte.

Voorbeeld

Bij eenmaal gooien met een dobbelsteen is de uitkomstenruimte (verzameling mogelijke uitkomsten) Ω = {1,2,3,4,5,6}. Voor de gebeurtenissen kunnen we hier alle deelverzamelingen van Ω nemen. De kans op een van de ogenaantallen 1 tot en met 6, dus de kans op heel Ω, is 1. De kans op een van de ogenaantallen uit {1,2,3,5,6} is gelijk aan de kans op een uitkomst uit {1,5} plus de kans op een uitkomst uit {2,3,6}. Bij een zuivere dobbelsteen zal de kans op elk van de gebeurtenissen {1}, {2}, ...,{6} hetzelfde zijn en dus gelijk aan 1/6. Voor de hiervoor genoemde gebeurtenissen geldt dan:

   Pr({1,2,3,5,6}) = frac{5}{6} = frac{2}{6} + frac{3}{6}=Pr({1,5})+Pr({2,3,6}) .

Consequenties van de axioma's

Opmerking: Binnen de verzamelingenleer is gedefinieerd:

Bsetminus A = {x | x in B, x notin A }

Uit bovenstaande axioma's zijn de volgende consequenties afleidbaar:

   * Pr(emptyset) = 0

       immers, emptyset cap emptyset = emptyset; er geldt dus

       Pr(emptyset)=Pr(emptyset cup emptyset) = Pr(emptyset) + Pr(emptyset)

   * als A, B en C paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn (elk tweetal heeft een lege doorsnede), dan geldt: Pr(A cup B cup C) = Pr(A) + Pr(B) + Pr©

       immers, Pr(A cup B cup C)=Pr((A cup B)cup C) = Pr(Acup B) + Pr© = Pr(A) + Pr(B) + Pr©

   * als A_1, A_2, cdots ,A_n paarsgewijs disjuncte gebeurtenissen zijn (elk tweetal heeft een lege doorsnede), en A_1cup A_2cup cdots cup A_n= Omega, dan geldt Pr(A_1^{ }) + Pr(A_2) + .... + Pr(A_n) = 1

       dit volgt uit axioma 3, door de keuze A_k=emptyset, voor k>n in combinatie met axioma 2

   * als A en B gebeurtenissen zijn, geldt:

     Pr(A cup B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A cap B)

       want A en Bsetminus A zijn disjunct, zodat Pr(A cup B) = Pr(A cup (Bsetminus A)) = Pr(A) + Pr(B setminus A) ;

       ook zijn Bsetminus A en A cap B disjunct, zodat Pr(B)= Pr(B setminus A) + Pr(A cap B).

Bron