Je moet je inderdaad maar eens verdiepen in de verbanden die de beweging en energie van een draaibeweging beschrijven zoals physicalattraction suggereert. De wiskundige beschrijving is geen onderdeel van de middelbare school stof maar het is equivalent met de beschrijving van translatie (rechtlijnige beweging)
Ik laat het hier even bij een korte (nouja...) beschrijving van deze begrippen en de verbanden, hopelijk helpt dat je een beetje op weg. Het is wel een beetje ingewikkeld.
Bij een gegeven draaias van een voorwerp kun je het traagheidsmoment I van een object bepalen dat bepaalt hoe sterk het voorwerp zich verzet tegen een verandering van hoeksnelheid: dω/dt. Het traagheidsmoment voor rotatie rond een gegeven als is vergelijkbaar met de mate waarin een voorwerp zich verzet tegen een verandering van snelheid voor translatie: dv/dt. Dus is het traagheidsmoment I voor rotatie vergelijkbaar met de massa m van het voorwerp voor translatie.
Dat traagheidsmoment is niet eenduidig bepaald voor een voorwerp. Het hangt af van hoe je de draaias kiest en hoe de massa van het voorwerp ten opzichte van deze draaias is verdeeld: een potlood kan gemakkelijker draaien om zijn lengte as dan om een as loodrecht door het midden net zoals een turner gemakkelijker een pirouette draait (om zijn lengteas) dan een reuzenzwaai (ik heb nog nooit een turner een reuzenzwaai zien maken met de hoeksnelheid waarop een ijsdanser een pirouette draait).
Het is niet een kracht F dat iets aan het draaien krijgt maar een moment M = Fxr, r de arm. Als kracht x arm groter is, verandert het object sneller zijn draaisnelheid (NB: het kan ook een hoekvertraging zijn; vanwege het traagheidsprincipe verzet een voorwerp zich in gelijke mate tegen een hoekversnelling als tegen een hoekvertraging) .
Dat leidt tot een verband tussen traagheidsmoment, moment en hoek
versnelling (de afgeleide van de hoeksnelheid naar de ti
jd) M=I.dω/dt dat equivalent is met F = m.a. (kracht en moment, massa en traagheidsmoment, versnelling en hoekversnelling)
Daarnaast heb je nog het impulsmoment of de " hoeveelheid draaiing" dat equivalent is aan de "hoeveelheid beweging" of impuls. Ook het impulsmoment is een vector. Ook voor het impulsmoment geldt een behoudswet (in feite is dit de wet van behoud van impuls aangezien het impulsmoment of de totale hoeveelheid draaiing, wordt bepaald de totale impuls van het draaiende voorwerp en een constante factor die afhangt van de massaverdeling ten opzichte van de draaias, dit is aan te tonen met de definitie van traagheidsmoment).
Impulsmoment wijst in de richting van de draaias, zodanig dat een kurketrekker die met het voorwerp meedraait in de richting van het impulsmoment boort. De grootte van het impulsmoment is de hoeksnelheid maal het traagheidsmoment of het equivalent van de snelheid maal de massa voor impuls bij translatie (beide zijn vectoren).
De draaiings energie is ½Iω2 het equivalent van de bekende kinetische energie ½mv2 (beide een scalar).
Overigens is de kinetische energie eigenlijk de som:
E
kin= ½Iω
2+½mv
2 aangezien kinetische (bewegings) energie zowel ontstaat door translatie als door rotatie (denk aan de energie die is opgeslagen in een draaiend vliegwiel)
Een mooi voorbeeld van de wet van behoud van energie kun je zien aan een danseres die bij een pirouette haar armen intrekt en dan sneller draait. Je kunt het ook proberen met een draaistoel: als die draait als je er op zit en je houdt je benen naar buiten en je trekt ze daarna in dan ga je harder draaien.
Verklaring: als je je armen en benen dichter naar de draaias toebrengt neemt het traagheidsmoment I af. Dat komt doordat je armen/benen bij gelijke hoeksnelheid een minder grote snelheid krijgen als je ze meer naar binnen brengt.
Bij gelijke kinetische energie: Ekin= ½Iω2 moet bij lagere I de hoeksnelheid ω dus toenemen: je gaat daarom sneller draaien.
Overzicht van vergelijkbare grootheden als je translatie en rotatie vergelijkt, in de zin dat de wiskundige beschrijving (en ook de fysica) equivalent is:
- Snelheid v (m/s) en hoeksnelheid ω (rad/s=s-1)
- Versnelling a = dv/dt (m/s2) en hoekversnelling dω/dt (rad/s2=s-2)
- Kracht F (N) en moment M (Nm)
- Impuls p= m.v (kgm/s) en impulsmoment L = I.ω (kg·m2·s-1)
- Massa m (kg) en traagheidsmoment I (kgm2)
Let op de dimensies, bijvoorbeeld: [½Iω
2] = kgm
2s
-2= kgms
-2.m=Nm= J (arbeid, energie)
radialen zijn dimensiloos dus hoeksnelheid heeft de dimensie van een frequentie.
