Ik heb problemen bij het begrijpen van de tangentiële versnelling:
Bij deze mijn 'inzichten' naar aanleiding van jouw vraag.
Je hebt een object dat zich over een curve beweegt. De x- en de y-positie van dit object worden beschreven door de functies x(t) en y(t). De afgelegde afstand noemen we s(t) en hiervoor geldt:
\(s(t) = \int_{0}^{t} \sqrt{\left( \frac{d x(\tau)}{d\tau}\right)^2 + \left( \frac{d y(\tau)}{d\tau}\right)^2} d\tau\)
Voor de afgeleide van s(t) geldt:
\(\frac{d s(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \int_{0}^{t} \sqrt{\left( \frac{d x(\tau)}{d\tau}\right)^2 + \left( \frac{d y(\tau)}{d\tau}\right)^2} d\tau = \sqrt{\left( \frac{d x(t)}{dt}\right)^2 + \left( \frac{d y(t)}{dt}\right)^2}\)
Voor de tweede afgeleide van s(t) geldt (kettingregel):
\(\frac{d^2 s(t)}{dt^2} = \frac{1}{2 \sqrt{\left( \frac{d x(t)}{dt}\right)^2 + \left( \frac{d y(t)}{dt}\right)^2}} 2 \left( \frac{d x(t)}{dt} \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \frac{d y(t)}{dt} \frac{d^2 y(t)}{dt^2}\right) = \frac{1}{\frac{d s(t)}{dt}} \left( \frac{d x(t)}{dt} \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \frac{d y(t)}{dt} \frac{d^2 y(t)}{dt^2}\right)\)
Voor de snelheidsvector geldt:
\(\vec{v}(t) = \left(\frac{d x(t)}{dt}, \frac{d y(t)}{dt}\right)\)
Deze vector raakt per definitie de curve. De richting waarin deze vector staat beschrijf ik met de eenheidsvector
\(\vec{u}_t(t)\)
. Voor de lengte van de snelheidsvector geldt:
\(||\vec{v}(t)|| = \sqrt{\left( \frac{d x(t)}{dt}\right)^2 + \left( \frac{d y(t)}{dt}\right)^2} = \frac{d s(t)}{dt}\)
De snelheidsvector kun je dus ook schrijven als (bedenk dat de component van de snelheid loodrecht op de bewegingsrichting per definitie nul is):
\(\vec{v}(t) = \frac{d s(t)}{dt} \vec{u}_t(t)\)
Anders gezegd:
\(\vec{u}_t(t) = \frac{1}{\frac{d s(t)}{dt}} \vec{v}(t)\)
De versnellingsvector kun je vinden door de snelheidsvector te differentieren:
\(\vec{a}(t) = \left(\frac{d^2 x(t)}{dt^2}, \frac{d^2 y(t)}{dt^2}\right)\)
De tangentiele versnelling kun je vinden met het inproduct van de versnellingsvector en de eenheidsvector
\(\vec{u_t}(t)\)
:
\(a_t(t) = \vec{a}(t) \cdot \vec{u_t}(t) = \left(\frac{d^2 x(t)}{dt^2}, \frac{d^2 y(t)}{dt^2}\right) \cdot \frac{1}{\frac{d s(t)}{dt}} \left(\frac{d x(t)}{dt}, \frac{d y(t)}{dt}\right) = \frac{1}{\frac{d s(t)}{dt}} \left( \frac{d x(t)}{dt} \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + \frac{d y(t)}{dt} \frac{d^2 y(t)}{dt^2}\right) = \frac{d^2 s(t)}{dt^2}\)
De tangentiele versnellingsvector is dan dus:
\(\vec{a}_t(t) = a_t(t) \vec{u}_t(t) = \frac{d^2 s(t)}{dt^2} \vec{u}_t(t)\)
Kijken we nu naar het uitgangspunt:
\(\vec{a}(t) = \vec{a}_t(t) + ||\vec{v}(t)|| \frac{d \vec{u}_t(t)}{dt}\)
De totale versnellingsvector heeft dus twee componenten. De eerste is de tangentiele component. De tweede component staat loodrecht op de bewegingsrichting. Dit is de component die voor de verandering van richting zorgt.
Ik hoop dat je hier iets aan hebt.
