[natuurkunde] Slinger

Girlyy

Hallo, de vraag is:

Een bol met massa m=300 g hangt aan een koord (geen massa) met lengte L=1,0 m
a) maak een krachtdiagram van de krachten op de bol. Zijn de krachten in evenwicht?

: 10744883_594768860650355_2144011304_n.jpg (75.11 KiB) 958 keer bekeken

De krachten zijn in evenwicht, er werken geen externe krachten op, dus de snelheid zal constant zijn en dus zijn de krachten in evenwicht.

b) leidt een formule af voor de grootte van de spankracht (S). Hoe zal de bol gaan bewegen?
S=Fz*cosθ
De bol zal naar links gaan bewegen.

c) Laat zien dat: (d^2 θ)/(dt^2 )=-ω^2 θ

: formule.png (2.39 KiB) 879 keer bekeken

geldt.
In welke eenheden is θ uitgedrukt, hoe hangt ω samen met de gegeven grootheden?
θ is uitgedrukt in radialen.
ω geen idee hoe dit samen hangt.
Ik snap niet vanuit waar ik moet beginnen met de afgeleide, ik kan echt niet op een formule komen met de hoek en de tijd erin.

d) Wat is de oplossing va de differentiaalvergelijking? Hoeveel seconde duurt het dat de bol een maal op en neer beweegt?
Dit moet ik berekenen als vervolg van c, misschien als die begrijp dat ik deze ook begrijp.

Hopelijk kan iemand helpen!

EvilBro

a) maak een krachtdiagram van de krachten op de bol. Zijn de krachten in evenwicht?
10744883_594768860650355_2144011304_n.jpg

De krachten zijn in evenwicht, er werken geen externe krachten op, dus de snelheid zal constant zijn en dus zijn de krachten in evenwicht.

De snelheid is constant? Een slinger gaat van stilstand (in de uiteinden) via een hogere snelheid (in het midden) weer naar stilstand (in het andere uiteinde) om vervolgens het hele verhaal de andere kant op te doen...

Girlyy

EvilBro schreef: De snelheid is constant? Een slinger gaat van stilstand (in de uiteinden) via een hogere snelheid (in het midden) weer naar stilstand (in het andere uiteinde) om vervolgens het hele verhaal de andere kant op te doen...

Ja dat klopt. Dus ze zijn niet in evenwicht, ik dacht dat in eerste instantie ook en had eigenlijk ook geen goede reden om dat niet meer te denken.

Toevallig ook ideeën over opgave c?

Anton_v_U

Voordat je hem oplost, moet je bekijken wat de differentiaalvergelijking betekent.

Wat is die θ en wat betekent de tweede tijd afgeleide van θ? Het heeft met kracht te maken en met een constructie van krachten waarin je de driehoeksverhoudingen sos cas toa moet toepassen. Daarnaast moet je je realiseren dat voor kleine θ: sin(θ)=θ gelijk mag stellen. Stel de bewegingsvergelijking op cf. de 2e wet van Newton, op een manier dat je een vergelijking krijgt voor de hoek θ i.p.v. de positie. Die heeft de vorm van de gegeven differentiaalvergelijking zodat je een uitdrukking voor ω kunt vinden. Die ω heeft een fysische betekenis, welke?

Girlyy

θ komt toch overeen met de afstand, dan komt de eerste afgeleide overeen met de snelheid en de tweede afgeleide overeen met de versnelling lijkt mij?
ω = de hoeksnelheid in rad/sec
En de sinus van een hele kleine hoek komt dus bijna overeen met gewoon die hoek.
Hopelijk klopt wat ik hier zeg een beetje.

Maar hoe ik nu aan de bewegingsvergelijking kom weet ik echt niet. Als ik het opzoek zou het -mg sinθ moeten zijn. Als dat klopt, dan is ω² dus -mg en ω wortel(-mg). Maar hoe ik dit zou moeten weten en of dit klopt geen idee.

Anton_v_U

θ is de hoek die is aangegeven in de figuur. Wat is de afgelegde afstand als θ in een kort tijdsinterval Δt een beetje: Δθ verandert?
Als je die afstand deelt door de tijdsduur Δt dan krijg je (in de limiet Δt → 0) de momentane snelheid. Die heb je dan uitgedrukt in een verandering van θ.
Als je de snelheid differentieert naar de tijd, dan krijg je de versnelling. Die kun je dus uitdrukken in de tweede afgeleide van θ.
Tenslotte heb je de relatie F_res=m.a. Dat is de bewegingsvergelijking. Je kunt F_res uitdrukken in de zwaartekracht en de hoek θ; de versnelling die je hebt gevonden in de vorige stap vul je in op de plaats van a.
Je kunt dan door je formule te vergelijken met de gegeven differentiaalvergelijking de uitdrukking voor ω vinden.
Uit de oplossing van de differentiaalvergelijking in θ volgt de betekenis van ω. Kun je die betekenis uitleggen? Hoeksnelheid in rad/s vind ik niet zo'n goede uitleg omdat je die gemakkelijk verwart met de verandering van θ per tijdseenheid en dat is het niet.
De massa komt niet voor in de formule voor ω. Welke conclusie trek je hieruit als het gaat om de slingertijd?

Girlyy

afgelegde afstand is tijd * snelheid = t*ω
snelheid= Δθ= (t*ω)/Δt
versnelling = ((ωΔt)-(t*ω))/Δt²
F_res=m*a = m*g*cos θ (ik kom op cosinus uit, maar het moet volgens mij sinus zijn) dan is het F=m*g*sin θ = m*g*θ (bij een kleine waarde voor θ)
dus dan is ω² = m*g (dir snap ik niet echt, als ik de rest al goed gedaan heb)
De slingertijd is niet afhankelijk van de massa.

Anton_v_U

Het gaat in het begin al fout (maar je laatste opmerking klopt wel, dat zie je straks ook aan de formules)
Lees het onderstaande en ga verder met de vet/schuin afgedrukte conclusie.

Je gebruikt hiervoor het verband tussen afstand, snelheid en versnelling. En die versnelling vul je in in het verband tussen versnelling kracht en massa: 2e wet van Newton

De lengte van een cirkelboog is de straal maal de hoek die de boog beschrijft. Mits de hoek in radialen is uitgedrukt: radius is straal; aantal radialen is aantal keer de straal; de hoek in radialen is dus de lengte van de cirkelboog uitgedrukt in het aantal keer de straal.

De straal is hier de lengte van de slinger L en de hoek die de slinger aflegt is Δθ.

Als de slinger een kleine hoek Δθ beweegt, heeft de massa dus een afstand LΔθ afgelegd.

Opmerkingen:

De hoeksnelheid van de beweging van de slinger is niet de ω in de formule. De ω heeft nog geen betekenis, je moet het voorlopig even zien als een parameter, een getalletje dat bij je oplossing hoort. Als je de oplossing hebt en je interpreteert die correct, dan krijgt het getalletje pas een betekenis.
De hoeksnelheid van de massa is per definitie de tijdafgeleide van de hoek θ.
De afgelegde afstand is niet de hoeksnelheid maal de tijd maar de hoeksnelheid maal de straal maal de tijd. Dat is ook logisch: als de twee slingers een zelfde hoek in de zelfde tijd aflegt, dan is de snelheid van de langste slinger het grootst.

Girlyy

Oké dus

afstand is tijd*snelheid = t*ω*L
snelheid= Δθ= (t*ω*L)/Δt
versnelling = (ω*L)/Δt (dit zal wel niet kloppen)
Fres=m*a = m*g*cos θ (ik kom op cosinus uit, maar het moet volgens mij sinus zijn) dan is het F=m*g*sin θ = m*g*θ (bij een kleine waarde voor θ) (klopte zit wel? => sin of cos? als ik naar de tekening kijk kom ik op cosinus uit, maar in het verband met de vraag lijkt mij sinus het meest logisch) e
versnelling m*a=m*g*θ => a=g*θ
g*θ=(ω*L)/Δt, weet niet echt of dit klopt en als het klopt hoe ik verder moet...

aadkr

tik eens bij de zoekmachine google de volgende zoekterm in:
mathematische slinger

Anton_v_U

Anton_v_U schreef: Als de slinger een kleine hoek Δθ beweegt, heeft de massa dus een afstand LΔθ afgelegd.

Omdat de formule waar je naar toe wilt werken de tijd afgeleide van de hoek θ bevat, is het een goed idee om de relatie te leggen tussen de verandering van θ per tijdseenheid en de snelheid.

Een slinger beweegt in een tijdsduur Δt over een hoek Δθ. De afgelegde afstand is LΔθ, de (gemiddelde) snelheid is dus LΔθ/Δt en de momentane snelheid, voor Δt → 0 is dus v = Ldθ/dt. (als de tijdsduur naar nul gaat mag je de delta's vervangen door d's, wat op hetzelfde neerkomt als de koorde van een grafiek wordt de raaklijn als de twee punten van de koorde op elkaar liggen)

Voor de versnelling krijg je nu: a = ....

Als je de tweede wet van Newton toepast: F=m.a moet je:

voorgaande formule invullen op de plaats van a.
De kracht F wordt bepaald door de massa, de valversnelling en de hoek θ. Zoek naar een formule waarin je F uitdrukt in de massa en de hoek en vul die in op de plaats van F.

Girlyy

oké.

Dan krijg ik:

s= L*θ (booglengte)
v= ds/dt = L* (dθ/dt)
a=L* (d²θ)/dt²)
F_res=-mg sin θ=ma
a=-g sin θ
-g sin θ = L* (d2θ)/dt2)
aannemen dat het een kleine hoek is: -gθ = L* (d2θ)/dt2)
g/L θ +(d2θ)/dt2) = 0

Er staat de algemene oplossing is: θ = A cos(ωt)+ B sin(ωt)
eerste afgeleide is dan -Aω sin(ωt)+Bω cos (ωt)
tweede afgeleide is dan -Aω² cos(ωt) - Bω² sin(ωt)
dus g/L θ -Aω² cos(ωt) - Bω² sin(ωt) = 0
En dan?

T=2 seconde T=2pi {wortel}(L/g)

Anton_v_U

Girlyy schreef: Dan krijg ik:
g/L θ +(d2θ)/dt2) = 0

Uitstekend!

Schrijf dit nu in de vorm: d²θ/dt² = - [iets] keer θ
Die [iets] is in de gegeven formule ω². Neem de wortel uit [iets]. Wat is dan die ω?

Verder heb je genoeg aan de oplossing: θ = A cos(ωt)
De combinatie van sinus en cosinus dient alleen om elke fase van de trilling mogelijk te maken (snap je waarom?)
Dus je kiest het nulpunt van de tijd zo dat op t=0 de slinger maximaal positieve uitwijking heeft oftewel je laat de slinger los op T=0.

ω=2πf. Dus f = ω/2π en T = 2π/ω
Vul de gevonden uitdrukking voor ω in de formule voor T in en vergelijk dat met de formule voor de slingertijd.

Girlyy

-g/L θ = (d2θ)/dt2)
dus ω²=-g/L
ω= {wortel}(-g/L) dus ω= -{wortel}[m/s²/m]=-{wortel}[s²]=seconde
T = 2π/ω = T = 2π/({wortel}(-g/L))=2 1/s

Anton_v_U

Girlyy schreef: -g/L θ = (d2θ)/dt2)
dus ω²=-g/L

Allmost there...
De differentiaalvergelijking die je hebt afgeleid is:
d²θ/dt²= - g/L θ

De gegeven dv is:
d²θ/dt²= - ω²θ

Let op de details. (alhoewel de wortel uit een negatief getal misschien geen detail is; bedenk dat g en L positief zijn)

dus ω² = ....
en ω = ....

Girlyy schreef: T = 2π/ω = T = 2π/({wortel}(-g/L))=2 1/s

Delen door wortel g/L is vermenigvuldigen met wortel ....
Wat bedoel je met = 2 1/s?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[natuurkunde] Slinger

Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger

Re: Slinger