\(f^{-1} (U) \in T_X \forall U \in T_{\mathbb{R}^n}\)
Dit is concreet wat ik bedoel met continu hier(dus geen epsilon-delta definitie, want wie weet is X niet metriseerbaar). Wat ik nu moet bewijzen is dat f continu is dan en slechts dan als (f1,f2,...,fn) continu zijn. fi is uiteraard een functie X->R, met in R de euclidische metriek. Het is me gelukt dit 1 kant op te bewijzen, namelijk dat als f1,f2,...,fn continu zijn f=(f1,f2,...,fn) dat ook is door gebruik te maken van eigenschappen van de topologie. Maar de andere kant op lukt het me maar niet.
Dit is iniedergeval een poging: Stel f is continu maar er is minstens 1 fi dat niet continu is, dan probeer ik op een tegenstrijdigheid te komen. Dan krijg ik dit: Stel fi is niet continu voor een zekere index van i'tjes I(deelverzameling van {1,2,...,n}) dan geldt dus het volgende:
\(\forall i \in I, \exists U \in T_\mathbb{R}, f^{-1}(U) \notin T_X\)
Stel nu dat V 1 zo'n element is van de topologie in R, er is dus een k zodanig dat het bovenstaande waar is voor V voor minstens 1 waarde k. Beschouw dan V^N = V X V X ... X V(n keer cartesisch product), dit is dan duidelijk een open verzameling in R^n en omdat f continu is geldt:\(f^{-1} (V^n) = f_1^{-1} (V) \cap f_2^{-1} (V) \cap .... \cap f_k^{-1} (V) \cap .... \cap f_n^{-1} (V) \)
We hebben nu dat fk(en eventueel andere deelfuncties) niet continu zijn. Ofterwijl in de doorsnee hierboven zit minstens 1 verzameling dat niet tot de topologie Tx behoort, maar de doorsnee van al die verzamelingen behoord wel tot de topologie Tx. Dit leidt echter niet tot een tegenstrijdigheid aangezien het niet zo is dat:
\( A \in T_X, B \notin T_X => A \cap B \notin T_X\)
Ik kan zo voorbeelden bedenken waarbij het bovenstaande simpelweg niet klopt. Maar dat betekent ook dat mijn bewijs uit het ongerijmde nergens toe gaat leiden. Ik zie ook niet hoe ik op een andere manier de primaire eigenschappen van verzamelingen in een topologie kan uitbuiten(eindige doorsneden behoren tot de topologie en (on)eindige verenigingen ook) om dit te bewijzen. Hopelijk kan iemand me hiermee helpen.
. En normaal zal je ze wel gezien hebben. 