Som van kwadraten
-
- Berichten: 338
Som van kwadraten
Is er 'n slimmere manier om 'n alternatieve som van twee kwadraten te vinden dan de brute force manier? En om te betalen of die überhaupt bestaat natuurlijk?
Dus bij gegeven a en b in N, vindt c en d in N zó dat a^2 + b^2 = c^2 + d^2.
Dus bij gegeven a en b in N, vindt c en d in N zó dat a^2 + b^2 = c^2 + d^2.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Som van kwadraten
Mafkees schreef: Gegeven a en b in N, vindt c en d in N zó dat a^2 + b^2 = c^2 + d^2.
Er volgt: a2-c2+b2-d2=0 ... (ontbind deze vorm)
-
- Berichten: 338
Re: Som van kwadraten
Ja, dan krijg je dus (a + c)(a - c) + (b + d)(b - d) = 0.
Maar wat kan ik daar dan vervolgens mee?
Maar wat kan ik daar dan vervolgens mee?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Som van kwadraten
Misschien is het gemakkelijker uit te gaan van twee primitieve pythagorese drietallen en dan te combineren, bv:
De driehoeken 3,4,5 en 5,12,13. Construeer de driehoeken met hypotenusa 5*13 ...
De driehoeken 3,4,5 en 5,12,13. Construeer de driehoeken met hypotenusa 5*13 ...
- Berichten: 134
Re: Som van kwadraten
Het lijkt me wel logisch dat dit soort getallen bestaan als je voor a tot d ook een wortel mag nemen. Maar of ze ook voor integers bestaan?? ik vraag het me af zou er 123 niet 1 kunnen noemen...
- Berichten: 4.320
Re: Som van kwadraten
Ik betwijfel of er iets bestaat dat niet op slim uit proberen berust.
Wel kan het vraagstuk worden terug gebracht op een eenvoudiger vraagstelling:
Hoeveel Pythagorese tripels zijn mogelijk als de grootste gegeven is?
Wel kan het vraagstuk worden terug gebracht op een eenvoudiger vraagstelling:
Hoeveel Pythagorese tripels zijn mogelijk als de grootste gegeven is?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Som van kwadraten
gallo schreef: Maar of ze ook voor integers bestaan?? ik vraag het me af zou er 123 niet 1 kunnen noemen...
Probeer het vb eens (post #4) ...
- Berichten: 134
Re: Som van kwadraten
Eenvoudiger is in dit geval dan relatieftempelier schreef: eenvoudiger vraagstelling:
a2+b2+c2=d2 lukt me nog wel maar daar wordt niet omgevraagd.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Som van kwadraten
gallo schreef: a2+b2+c2=d2 lukt me nog wel maar daar wordt niet omgevraagd.
Lukt het vb niet ...
- Berichten: 134
Re: Som van kwadraten
het lukt me nog steeds niet.
Als je de hypotenusa van 5*13 neemt weet je 25*169=5*5*5*5+5*12*5*12
maar wat heb je daaraan
Als je de hypotenusa van 5*13 neemt weet je 25*169=5*5*5*5+5*12*5*12
maar wat heb je daaraan
- Berichten: 10.584
Re: Som van kwadraten
Misschien is het gemakkelijker uit te gaan van twee primitieve pythagorese drietallen en dan te combineren, bv:
De driehoeken 3,4,5 en 5,12,13. Construeer de driehoeken met hypotenusa 5*13 ...
Slim!
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
-
- Berichten: 338
Re: Som van kwadraten
De pythagoreïsche tripels worden gegeven door de parametervergelijking x(t) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1) en y(t) = 2t / (t^2 + 1). Dit levert breuken op met gehele getallen in de teller en de noemer voor gehele waardes van t.
Oftewel m.a.w. als a^2 + b^2 = c^2 en a, b en c zijn alle drie integers, dan is a van de vorm a = t^2 - 1, b = 2t en c = t^2 + 1, waarbij t ook 'n gehele integer is.
Maar als je dan zo'n tripel hebt gevonden, hoe kun je dan bepalen of je dat tripel ook kunt schrijven als de som van twee andere kwadraten?
Oftewel m.a.w. als a^2 + b^2 = c^2 en a, b en c zijn alle drie integers, dan is a van de vorm a = t^2 - 1, b = 2t en c = t^2 + 1, waarbij t ook 'n gehele integer is.
Maar als je dan zo'n tripel hebt gevonden, hoe kun je dan bepalen of je dat tripel ook kunt schrijven als de som van twee andere kwadraten?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Som van kwadraten
gallo schreef: het lukt me nog steeds niet.
Als je de hypotenusa van 5*13 neemt weet je 25*169=5*5*5*5+5*12*5*12
maar wat heb je daaraan
Ken je de 3,4,5 driehoek?Zo ja, wat weet je dan ...
Stel nu dat je de hypotenusa niet 5 maar 5*13 neemt, wat worden dan de rechthoekszijden (denk aan gelijkvormige driehoeken)
-
- Berichten: 7.072
Re: Som van kwadraten
Dat lijkt mij niet. Ik heb dan ook het idee dat Safe een andere, niet gestelde, vraag aan het beantwoorden is (iets in de trant van "is er een makkelijke manier om getallen te genereren die op meer dan 1 manier te schrijven zijn als de som van twee kwadraten").Is er 'n slimmere manier om 'n alternatieve som van twee kwadraten te vinden dan de brute force manier?
Kun je uitleggen hoe deze vraag equivalent is? Bijvoorbeeld voor N=50 (= 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2)...Wel kan het vraagstuk worden terug gebracht op een eenvoudiger vraagstelling:
Hoeveel Pythagorese tripels zijn mogelijk als de grootste gegeven is?