Som van kwadraten

Moderators: dirkwb, Xilvo

Berichten: 338

Som van kwadraten

Is er 'n slimmere manier om 'n alternatieve som van twee kwadraten te vinden dan de brute force manier? En om te betalen of die überhaupt bestaat natuurlijk?
Dus bij gegeven a en b in N, vindt c en d in N zó dat a^2 + b^2 = c^2 + d^2.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som van kwadraten

Mafkees schreef: Gegeven a en b in N, vindt c en d in N zó dat a^2 + b^2 = c^2 + d^2.
 
Er volgt: a2-c2+b2-d2=0 ... (ontbind deze vorm)

Berichten: 338

Re: Som van kwadraten

Ja, dan krijg je dus (a + c)(a - c) + (b + d)(b - d) = 0.
Maar wat kan ik daar dan vervolgens mee?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som van kwadraten

Misschien is het gemakkelijker uit te gaan van twee primitieve pythagorese drietallen en dan te combineren, bv:
De driehoeken 3,4,5 en 5,12,13. Construeer de driehoeken met hypotenusa 5*13 ...

Gebruikersavatar
Berichten: 134

Re: Som van kwadraten

Het lijkt me wel logisch dat dit soort getallen bestaan als je voor a tot d ook een wortel mag nemen. Maar of ze ook voor integers bestaan?? ik vraag het me af zou er 123 niet 1 kunnen noemen...

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Som van kwadraten

Ik betwijfel of er iets bestaat dat niet op slim uit proberen berust.
 
Wel kan het vraagstuk worden terug gebracht op een eenvoudiger vraagstelling:
 
Hoeveel Pythagorese tripels zijn mogelijk als de grootste gegeven is?
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som van kwadraten

gallo schreef: Maar of ze ook voor integers bestaan?? ik vraag het me af zou er 123 niet 1 kunnen noemen...
 
Probeer het vb eens (post #4) ...

Gebruikersavatar
Berichten: 134

Re: Som van kwadraten

tempelier schreef: eenvoudiger vraagstelling:
Eenvoudiger is in dit geval dan relatief :)
 
a2+b2+c2=d2 lukt me nog wel maar daar wordt niet omgevraagd.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som van kwadraten

gallo schreef: a2+b2+c2=d2 lukt me nog wel maar daar wordt niet omgevraagd.
 
Lukt het vb niet ...

Gebruikersavatar
Berichten: 134

Re: Som van kwadraten

inderdaad

Gebruikersavatar
Berichten: 134

Re: Som van kwadraten

het lukt me nog steeds niet.
 
Als je de hypotenusa van 5*13 neemt weet je 25*169=5*5*5*5+5*12*5*12

 
maar wat heb je daaraan

 

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Som van kwadraten

Misschien is het gemakkelijker uit te gaan van twee primitieve pythagorese drietallen en dan te combineren, bv:

De driehoeken 3,4,5 en 5,12,13. Construeer de driehoeken met hypotenusa 5*13 ...

Slim!
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Berichten: 338

Re: Som van kwadraten

De pythagoreïsche tripels worden gegeven door de parametervergelijking x(t) = (t^2 - 1) / (t^2 + 1) en y(t) = 2t / (t^2 + 1). Dit levert breuken op met gehele getallen in de teller en de noemer voor gehele waardes van t.
Oftewel m.a.w. als a^2 + b^2 = c^2 en a, b en c zijn alle drie integers, dan is a van de vorm a = t^2 - 1, b = 2t en c = t^2 + 1, waarbij t ook 'n gehele integer is.
Maar als je dan zo'n tripel hebt gevonden, hoe kun je dan bepalen of je dat tripel ook kunt schrijven als de som van twee andere kwadraten?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Som van kwadraten

gallo schreef: het lukt me nog steeds niet.
 
Als je de hypotenusa van 5*13 neemt weet je 25*169=5*5*5*5+5*12*5*12

 
maar wat heb je daaraan

 
 
Ken je de 3,4,5 driehoek?Zo ja, wat weet je dan ...
Stel nu dat je de hypotenusa niet 5 maar 5*13 neemt, wat worden dan de rechthoekszijden (denk aan gelijkvormige driehoeken)

Berichten: 7.068

Re: Som van kwadraten

Is er 'n slimmere manier om 'n alternatieve som van twee kwadraten te vinden dan de brute force manier?
Dat lijkt mij niet. Ik heb dan ook het idee dat Safe een andere, niet gestelde, vraag aan het beantwoorden is (iets in de trant van "is er een makkelijke manier om getallen te genereren die op meer dan 1 manier te schrijven zijn als de som van twee kwadraten").
 
Wel kan het vraagstuk worden terug gebracht op een eenvoudiger vraagstelling:
 
Hoeveel Pythagorese tripels zijn mogelijk als de grootste gegeven is?
Kun je uitleggen hoe deze vraag equivalent is? Bijvoorbeeld voor N=50 (= 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2)...

Reageer