Straal aarde berekenen

Freshman

Ergens maak ik een fout in de onderstaande opdracht, omdat ik 121 ten opzichte van 0,12 heb. Daarnaast weet ik ook niet wat standaard het aantal decimalen is wat men gebruikt achter de komma. En volgens mij zitten er nog wel wat meer foutjes in mijn berekening en gedachte. Kan iemand mij een tip geven bij het onderstaande waar ik de fout in ga. En klopt het dat getallen eerst met "," worden aangegeven en decimalen achter een "." heb ruzie met mijn rekenmachine daarover.

Let op: ik wil niet het juiste antwoord hebben, anders leer ik er niks van. Dus als iemand een hint kan geven wat ik moet uitzoeken ......

Opdracht:
Deel A: De Grootte van de Aarde
De oude Grieken hebben al de eerste metingen aan de omvang van de aarde gedaan (ze wisten al dat die rond was, hoe?). Eratosthenes (276 BC!) kwam tot een meting zeer dicht bij de werkelijke zoals wij die nu kennen. We gaan de berekening van Eratosthenes nu herhalen.

Eratosthenes had gehoord dat in het begin van de zomer (nu 21 juni), in de Egyptische stad Syene de zon precies recht boven je hoofd staat (in het zgn zenit). Het zonlicht word dan namelijk gereflecteerd in een diepe put (zie tekening). Hij zelf werkte in de beroemde bibliotheek van Alexandria. Als je nu meet hoe hoog de zon daar aan de hemel komt, heb je bepaald wat het verschil in breedte-graad tussen Alexandria en Syene is.

Op diezelfde dag is de minimale schaduw van de toren in Alexandria 6 meter lang, terwijl de toren 50 meter hoog is. Hoever staat de zon uit het zenit? Wat is nu hoek theta, het verschil in breedtegraad tussen Alexandria en Syene?

Als je goed daar de bovenstaande tekening kijkt, kun je afleiden dat de totale omtrek van de aarde (360/theta maal de afstand Alexandria-Syene is), aannemende dat deze twee steden precies noord-zuid van elkaar liggen. Geschriften geven aan dat Eratosthenes voor de afstand Alexandria-Syene 5000 stadia aanneemt (uit de verhalen van Kamelen-drijvers). Hoeveel stadia is de omtrek van de Aarde?

Nou willen we natuurlijk weten hoe lang 1 stadium is. Dit is waarschijnlijk de lengte van een atletiek-baan in het oude Griekenland - zo'n 185 meter. Wat is volgens Eratosthenes de omtrek van de aarde in km? Hoe goed komt dit overeen met de moderne waarde? Waardoor zou zijn waarde kunnen afwijken (wat voor aannames hebben we gemaakt?)

Opmerking: Bedenk dat meer dan 1500 jaar later, Columbus nog altijd dacht dat de aarde veel kleiner was (waardoor hij dacht via het westen sneller naar India kon varen!!).

: Schermafbeelding 2016-02-03 om 21.00.08.png (519.51 KiB) 2430 keer bekeken

D = 5000 Stadia
H = 50 Meter
d = 6 Meter
R =
tan ∠ = overstaande rechthoekszijde / aanliggende rechthoekszijde
8,333333333
tan¯¹ (hoek) = graden°
83,15722659° graden verschil uit zenit.
90° - 83,15722659° = 6,84277341° hoek theta
D = 5000 Stadia (gelijk aan) 6,84277341°
360° (aarde) / 6,84277341° = 52,61024711°
52,61024711°x 5000 = 263.051,2355 Stadia
263.051,2355 x 185 meter = 48.664,47857 Km
R = Omtrek / Pi (/2)
48.664,47857 / Pi = 15.490,38463 (/2) = 7.745,192317 Km

D/R = 121,951219
d/H = 0,12

Professor Puntje

Over de punt en de komma, zie:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Decimaal_talstelsel#Getallen

Emveedee

Leuk vraagstuk! In grote lijnen klopt je berekening, maar hier en daar zijn er nog een paar schoonheidsfoutjes.

Kijk nog eens naar waar je de tangens van de hoek berekent. De tangens is inderdaad de overstaande gedeeld door de aanliggende. In dit geval, wat is de aanliggende en wat is de overstaande? Je komt uiteindelijk wel op de goede hoek, maar ik kan je berekening hier niet helemaal volgen. Hoe kom je bijvoorbeeld aan die 90 graden?

360° (aarde) / 6,84277341° = 52,61024711°

Als je graden door graden deelt, is de uitkomst dimensieloos; 6,8 graden past 52,6.. maal in 360 graden. Die 52,6 heeft dus niet de eenheid graden. Over eenheden gesproken, kilo schrijf je met een kleine letter k, de grote letter is voor Kelvin

Let ook op met je notatie, bijv.

R = Omtrek / Pi (/2)

Ik moest even goed kijken wat je hier bedoelt. Ik dacht eerst dat er stond R = Omtrek / (Pi / 2), wat iets heel anders is. Het is gebruikelijk om dit te schrijven als R = Omtrek / ( 2 Pi ). Zo kan er geen twijfel bestaan over de rekenvolgorde.

48.664,47857 / Pi = 15.490,38463 (/2) = 7.745,192317 Km

Wat hier staat is strict genomen ook niet netjes (fout zelfs!) door je schrijfwijze. Wat je schrijft is dat 15 490,... = 15 490,... /2, en dat klopt natuurlijk niet. Als je er een = teken tussen zet, moet er aan allebei de kanten precies hetzelfde staan.

Bijv:
18 / 3 = 6 / 2 = 3 is fout,
18 / (3 * 2) = 6 / 2 = 3 is goed,
18 / 3 = 6
6 / 2 = 3 is ook goed.

Ik ben misschien een beetje aan het mierenneuken, maar je kunt het net zo goed juist aanleren

Al met al zit je er niet ver naast. Probeer je laatste berekening van D/R en d/h nog eens, en let goed op welke eenheden er gebruikt zijn, dan kom je er denk ik wel uit.

Over je rekenmachine, daar worden inderdaad comma's gebruikt om de duizendtallen etc. aan te geven en een punt voor de decimalen. In het Nederlands is dat precies andersom als in het Engels.

Succes

P.S. In dit filmpje legt Carl Sagan dit verhaal prachtig uit, de moeite waard om eens te kijken!

Freshman

Tangens is hoekgraden met het bijbehorende symbool ∠ , de uitkomst van hoekgraden geeft men aan met het symbool °(graden).
De Si-eenheid voor de lengte is niet van belang voor de berekening, dus ik hoef deze niet te vermelden in de berekening ?
O en a worden ook wel benen of leden genoemd.

∠ = o/a
50/6 = 8,333333333
tan¯¹ (8,333333333) = 83,15722659°

De twee steden staan quote: (dat deze twee steden precies noord-zuid van elkaar liggen). De zon staat exact boven Syene/Aswan, en hieruit haal ik dan mijn hoek van 90° Staan twee halfrechten loodrecht op elkaar heb je een hoek van 90. De zon staat loodrecht boven Aswan, en Aswan staat precies noord-zuid t.o.v. de andere stad. Nee dit klopt nog niet wat ik zeg, dit klinkt mij niet lekker in de oren.
Wacht... als de hoek groter dan 90 graden zou zijn, dan zou de schaduw van de toren de grond niet meer raken en kun je het niet uitmeten!

Emveedee

Kun je in het plaatje dat je postte eens aangeven van welke hoek je daar de tangens berekent?

De eenheid hoef je inderdaad niet uitdrukkelijk te vermelden, maar let erop dat ze wel dezelfde eenheid hebben als je ermee rekent. In dit geval zijn zowel d als H gegeven in meters dus dan kan dat.

Freshman

Nu heb ik de hoek van de zon berekent en staat de zon 83,15722659° hoog in Alexandria.

Vervolgens heb ik nog tig dingen bedacht en heb wel een berekening van 5000 stadium / 50 m = 18500. Daarvan de tan-1 maakt 89,99690293 maar dan nog weet ik niet wat ik heb gedaan of welke hoek ik bereken. Maar ik krijg zo wel 6,839676341 graden verschil, weet alleen niet waarom. Of ik weet niet wat aanliggende en overstaande betekend. Want mijn eerste gedachte is dat staande staand is en liggend ... maar als ik mijn hoek op de grond gooi dan staat er niets meer. En dan zou staande voor mij de grootste waarde betekenen, dus vandaar 5000 stadium / 50 m.

Maar ik moet twee keer een schaduw hebben om iets van elkaar af te kunnen trekken, maar de schaduw in Aswan is 0. Ben nu al dik 4 uur bezig om te beredeneren waarom ik een hoek van 90graden heb en heb echt geen idee meer. Voordat ik het weet zit ik met Si-eenheden van rad, en anders kom ik uit op een beginpunt van 180 graden of iets... ik zie de bomen door het bos niet meer.

Freshman

Man man man, kom er net achter wat ik fout doe. Doordat je aangaf van waaruit ik kijk besef ik ineens dat ik idd een verkeerde aanname heb gedaan over wat a en o is bij tangens formule. Ik kijk vanuit de zon dus dit moest zijn:

∠ = o/a
6 / 50 = 0,12
tan¯¹ (0,12) = 6,842773413°

Tegenovergestelde hoeken betekend dat het verschil tussen de steden 6,842773413° breedtegraad is.
360° / 6,842773413° = 52,61024708
52,61024708 x 5000 Stadia = 263.051,2354
263.051,2354 x 185 = 48.664.478,55 m
48.664.478,55 / (2Pi) = 7.745.192,314 m

\(\frac{d}{H} \backsimeq \frac{D}{R}\)

Afgerond op 2 decimalen:

6 / 50 = 0,12

925.000 / 7.745.192,314 = 0,12

Emveedee

Precies. Merk ook op dat de tangens die je berekent hetzelfde is als die d/H in de formule. Snap je dan ook waarom moet gelden dat d/H = D / R?

Freshman

Vanuit de zon bekeken berekende ik de hoek van de toren en de schaduw, omdat de zon paralelle zonnestralen geeft kun je een tegenovergestelde hoek de zelfde waarde geven. Tegenovergestelde hoek is vanuit het middelpunt aarde bekeken en in de berekening is het dan de afstand tussen de steden gedeeld door straal.

Erg leuk dit, helemaal als je letterlijk geen idee hebt waar je aan begint en hoe alles werkt en heet. Maar als ik de basis er eenmaal goed in heb dan zal het steeds makkelijker gaan. Dus ik ga op naar de volgende opdracht, hoe ik de afstand van de maan kan berekenen.

Super bedankt Emveedee, en idd een leuk filmpje die je eerder plaatste.

Freshman

Of het nu leuk is of niet, er staan vragen in de opdracht die ik klaarblijkelijk niet goed begrijp en wil dat even snel over slaan. Zo weet ik niet of het klopt wat ik berekende hoe hoog de zon aan de hemel staat. Tevens is het begrip hoek theta in dit verhaal mij onduidelijk. Ergens heb ik het idee dat ik het maar voor lief neem en niet echt exact weet wat ik heb gedaan. Hoewel mijn antwoorden deels kloppen, heb ik het gevoel niet echt alles goed begrepen te hebben.

Mijn gevoel zegt dat ik nu het kunstje kan doen, maar slechts op basis van een kunstje het juiste heb gedaan of gevonden. In mijn tweede opdracht die ik probeerde merk ik dan ook dat ik dus klaarblijkelijk niet goed weet wat ik heb gedaan. Anders had ik direct de hoek kunnen uitrekenen of wat dan ook. Ergens wist ik wat ik wou doen, maar kan het niet goed beredeneren. (mogelijk is het zelfs fout)

Mijn vraag, ik begrijp niet wat hoek theta betekende.

Freshman

En nog iets wat mij ergens niet lekker zit. Ik gebruik een Tan-1 toets op mijn reken machine, maar ik heb geen idee wat deze doet. Hoe kan ik dan de opdrachten begrijpen als ik niet eens weet wat mijn rekenmachine doet?

Jan van de Velde

Freshman schreef: Ik gebruik een Tan-1 toets op mijn reken machine, maar ik heb geen idee wat deze doet.

de tangens is een goniometrische functie die de verhouding weergeeft van de overstaande rechthoekszijde van een hoek t.o.v. de aanliggende rechthoekszijde.

Heb je bijvoorbeeld een hoek van 26,565° , dan geeft dat een tangens van 0,5 (= 1/2). Dat betekent dat de overstaande zijde een half keer zo lang is als de aanliggende zijde. Met behulp van de tangens van een bekende hoek bereken je dus de verhouding van die rechthoekszijden in een rechthoekige driehoek.

: tan.PNG (13.33 KiB) 2430 keer bekeken

Andersom kan ook: Als je de verhouding van die rechthoekszijden kent, dan kun je met behulp van de tan^-1-functie de grootte van de hoek berekenen

: tan-1.PNG (14.77 KiB) 2430 keer bekeken

zie ook

microcursus-goniometrie-sinus-cosinus-tangens-basis

en dan in het bijzonder voor die inverse-tangens-functie hoofdstuk 5

mathfreak

ik begrijp niet wat hoek thèta betekende

Het is in de wiskunde gebruikelijk om hoeken met kleine Griekse letters aan te duiden. Zo stelt θ de kleine Griekse letter thèta voor, die in dit geval dus als hoekvariabele fungeert.

Ik gebruik een Tan^-1 toets op mijn reken machine, maar ik heb geen idee wat deze doet.

Bij terugrekenen in graden gebeuren er 2 dingen. Stel je hebt een tangenswaarde u, dan reken je met Tan^-1 eerst de bijbehorende hoek in radialen uit. Vervolgens wordt deze waarde met 180 vermenigvuldigd en daarna door π gedeeld om een hoekwaarde in graden te krijgen.

Freshman

Jan, bedankt voor de link, zal het de aankomende tijd goed doornemen.

Mathfreak, zou jij mij willen adviseren hoe ik mijn laatste berekening beter had kunnen uitschrijven?
Had ik ipv ∠ beter θ kunnen gebruiken, hoe kun je mijn berekening netjes uitschrijven, waardoor het overzichtelijker is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Straal aarde berekenen

Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen

Re: Straal aarde berekenen