bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Robin4

Goeiemiddag allemaal,

Ik zit nu al even vast op de volgende oefening. De opgave luidt:

"Stel (X,d) een separabele metrische ruimte. Bewijs dat \( \forall A \subseteq X \) geldt dat A hoogstens aftelbaar veel geïsoleerde punten bevat."

Omdat X separabel is, \( \exists Q : A \subseteq \bar{Q} \). Dit is equivalent met het feit dat we voor alle \( x \in A \) geldt dat we een rij in Q kunnen vinden zodat deze rij convergeert naar x. Dan heb ik geprobeerd te veronderstellen dat A overaftelbaar veel geïsoleerde punten heeft, zodat er dus geen bijectie tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen bestaat. Zo wil ik een tegenstrijdigheid afleiden. Neem dan een rij geïsoleerde punten van A die een bepaald geïsoleerd element van A, stel y, nadert. Dan loop ik echter vast. Kan iemand me een tip geven, of een mogelijke andere piste om dit aan te tonen?

Alvast bedankt,

Robin

Bart23

Elke separabele metrische ruimte heeft een aftelbare basis B voor de topologie (heeft het tweede aftelbaarheidsaxioma A2).
Noem A* de verzameling van geïsoleerde punten van A.
Elk geïsoleerd punt p van A zit in een omgeving die geen punten gemeen heeft met de rest van A. Dan kan je ook altijd zo'n basisomgeving vinden. Noem deze basisomgeving B_x.
De afbeelding van A* naar B die elke x afbeeldt op Bx is injectief. (waarom?)
Wat kan je nu besluiten?

Robin4

Ten eerste al dank voor het antwoord.

Verder heb ik echter niks van algemene topologie gezien, we hebben in deze cursus slechts topologische begrippen gezien die geïnduceerd worden door een metriek. Na wat opzoekingswerk kan ik het denk ik wel plaatsen denk ik, het verband tussen separabel zijn en het A2-axioma.

Deze afbeelding( noem deze f) is injectief, omdat er anders 2 geïsoleerde punten zijn die in dezelfde basisomgeving zitten, wat in strijd is met de definitie van A* als verzameling van alle geïsoleerde punten. (Als 2 punten in dezelfde omgeving 'zitten' zijn ze per definitie niet geïsoleerd). We hebben nu dus een bijectie geconstrueerd. Omdat B aftelbaar is, is A* dit dus ook. Dus het gevraagde is bewezen.

Bart23

Twee geïsoleerde punten kunnen wel in dezelfde omgeving zitten, maar er bestaat altijd een omgeving van een geïsoleerd punt die geen enkele van de andere punten bevat. Overigens hebben we hier geen bijectie, maar louter een injectie. Echter, een deelverzameling van een aftelbare verzameling is ook (hoogstens) aftelbaar.

Robin4

Waarom hebben we geen bijectie? Voor de eerste opmerking, dat was inderdaad wat ik bedoelde.

Bart23

Stel we kiezen voor het element x de omgeving B_{_x}=B(y,r)= de bol met middelpunt y en straal r. Nu zitten er in B doorgaans nog bollen met kleinere straal die ook y als middelpunt hebben (en x bevatten). We hadden even goed één van deze bollen kunnen kiezen, want die hebben uiteraard ook geen andere punten van A* in zich (B_x had er zelfs al geen). In geen van deze bollen 'komt een pijl aan', ze kunnen immers alleen het beeld van x zijn (en x mag maar 1 beeld hebben).

Robin4

OK, bedankt voor alle uitleg!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Re: bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Re: bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Re: bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Re: bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Re: bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten

Re: bewijs separabele ruimte hoogstens aftelbaar veel geisoleerde punten