Schuh presenteert vier methodes om alle reële getallen – zowel de meetbare als de onmeetbare - te definiëren, welke hij toeschrijft aan Cantor, Dedekind, Baudet en Weierstrass. Allen zijn gebaseerd op oneindige rijen of verzamelingen van meetbare getallen. In elk geval gaat hij uit van de niet negatieve getallen aangezien het volstaat om alle termen uit een rij of verzameling van een tegengesteld teken te voorzien (af te trekken van 0 of te vermenigvuldigen met -1), om het resultaat uit te breiden naar de niet positieve getallen.
Als eerste behandelt hij de definitie die hij toeschrijft aan Cantor. Hij introduceert daarbij het begrip
Fundamentaalrij. Naar ik vermoed is dit hetzelfde begrip als Cauchy-rij. Het is een oneindig doorlopende rij getallen a1, a2, a3, ... an, ... waarvoor geldt dat bij ieder positief getal d men een zodanig (natuurlijk) getal N kan vinden dat voor ieder paar indexen n en m – beide groter dan N voldaan is aan de voorwaarde dat de absolute waarde van an - am kleiner is dan d.
Hij vermeldt er niet bij hoe zo een fundamentaalrij tot stand komt, maar men moet welhaast een algoritme hebben met behulp waarvan men de rij kan opbouwen en waarmee met tevens kan bewijzen dat de voorwaarde voor elke mogelijke waarde van d opgaat.
Schuh onderscheidt verschillende types fundamentaalrijen waarvan ik er enkele zal beschrijven.
- F0: De monotone fundamentaalrijen. Deze bestaan uit een herhaling van een en hetzelfde getal. Een voorbeeld is 1/3; 1/3; 1/3 etcetera. Deze rij komt uiteraard overeen met het meetbare getal 1/3.
- F1: De niet dalende en niet onbepaald stijgende rij. Deze kan wel stijgen maar slechts tot een bepaalde limietwaarde. Bijvoorbeeld: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653 3,1415926535 etcetera waarbij elk volgend getal één decimaal meer bevat van het getal π. Uiteraard komt deze rij overeen met de (in dit geval) onmeetbare limiet π.
- F2: De niet stijgende en niet onbepaald dalende rij. Om bij hetzelfde voorbeeld te blijven: 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160; 3,141593; 3,1415927; 3,14159266; 3,141592654; 3,1415926536 etcetera. Ook deze rij komt overeen met haar limiet π.
Het is overigens ook mogelijk meetbare getallen met een type F1 (of F2) te beschrijven.
Bijvoorbeeld: 0; 1; 1,3; 1,33; 1,333; 1,3333 etcetera wat uiteraard tot 1/3 leidt,
Of 0; 1; 1,5; 1,75;1,865; 1,9275 etcetera welke rij tot 2 leidt.
In de methode van Weierstrass wordt de fundamentaalrij vervangen door zogenaamde convergente agregaten. Deze agregaten kunnen – naar mijn mening – het beste begrepen worden als het de eerste term van een fundamentaalrij plus – in volgorde de verschillen (vanaf 0) van de termen van de fundamentaalrij en de methode is dus niet echt anders dan die van Cantor.
Dus voor pi: 3; 0,1; 0,04; 0,001; 0,0005; 0,00009; 0,000002; 0,0000006; 0,00000005; 0,000000004 etcetera.
De som van alle (in het geval van een onmeetbaar getal oneindig vele) getallen in het agregaat is het betreffende reële getal.
Als men een algoritme heeft om – volgorderlijk – een fundamentaalrij op te bouwen heeft men tevens een algoritme om het corresponderende agregaat van Weierstrass op te bouwen en andersom. Zo is de rij 0; 1; 1,5; 1,75;1,865; 1,9275 etcetera opgebouwd uit het getal 1 gevolgd door telkens de helft van het laatste getal (dus 1; ½; ¼; 1/8; 1/16 etcetera).
De methode van Dedekind kent - zover ik het kan zien geen algoritme. Ze berust op de zogenaamde Dedekindsnede. Deze verdeelt alle meetbare getallen in twee delen, een hoge en een lage klasse zo dat elk getal uit de hoge klasse strikt hoger is dan elke getal uit de lage klasse. Men spreekt van een meetbare snede indien de hoge klasse een laagste waarde heeft of de lage klasse een hoogste. Kan men zo’n waarde niet vaststellen dan is de snede onmeetbaar. Hoe met de ene snede van de andere onderscheidt is eerlijk gezegd niet duidelijk, zeker als men geen grens kan aangeven. In mijn ogen dient men het getal reeds op andere wijze – bijvoorbeeld met die van Cantor te hebben gedefiniëerd alvorens de snede te kunnen beschrijven. Ten opzichte van de methode van Cantor, kan men stellen dat alle getallen die hoger zijn dan alle getallen uit een fundamentaalrij van het type F1, tot betreffende hoge klasse behoren, evenzo horen alle getallen die groter zijn dan enig getal uit een fundamentaalrij van het type F2 tot de betreffende hoge klasse.
De hoge klasse uit de methode van Dedekind komt - denk ik - overeen met een verzameling uit de methode van Baudet. Al met al kom ik tot de conclusie dat deze beschrijvingen op elkaar aansluiten,
Ik acht de methode met fundamentaalrijen superieur omdat deze (oneindig) vele benaderingen bevat van het onmeetbare getal. Deze benaderingen kunnen in de praktijk gebruikt worden om mee te rekenen. Schuh legt uit hoe men bijvoorbeeld vermenigvuldigd en stelt dat men de corresponderende termen van de rijen een voor een vermenigvuldigt om een nieuwe rij te krijgen. Voor 2π levert dat de rij op: 0; 6; 6,2; 6,28; 6,282; 6,2830; 6,28318; 6,283184; 6,2831852; 6,28318530; 6,283185306 6,2831853070, Men kan dus direct willekeurig nauwkeurig rekenen met een geschiikt getal uit zo’n reeks. Bij deze methode en die van Weierstrass is het bovendien mogeljk om de betreffende getallen middels een algoritme volgordelijk te bepalen. Bij Dedekind en Baudet, moet men een andere methode te hulp roepen om een specifiek reëel getal aan te wijzen.
Schuh bewijst ook dat een onmeetbaar getal plus een meetbaar getal(ongelijk 0), een nieuw onmeetbaar getal oplevert. Daarmee lijkt hij te bewijzen dat er minstens zoveel onmeetbare getallen zijn als meetbare. Daarmee lijkt de suggestie van Cantor dat er (veel) meer onmeetbare dan meetbare getallen zijn plausibel. Echter: Ik meen een ongerijmdheid te hebben ontdekt. Als men alle meetbare en onmeetbare getallen in volgorde denkt, dan kunnen er alleen (veel) méér onmeetbare getallen dan meetbare getallen zijn, als er (tenminste) een paar onmeetbare getallen i1 en i2 zijn waar tussen zich geen meetbare getallen bevinden. Maar als die getallen er zijn. Hoe wil men dan een fundamentaalrij samenstellen voor i1 welke verschillend is van die voor i2? Het lijkt er dus op dat er precies evenveel meetbare als onmeetbare getallen zijn! Een op het eerste gezicht verrassend resultaat, dat mij prompt doet twijfelen aan de juistheid van de definitie. Bij nader inzien is het evenwel niet zo verrassend aangezien alle getallen worden gedefiniëerd met behulp van de meetbare getallen. (dat geldt voor alle vier de methodes). Het is dan te verwachten dat het aantal onmeetbare getallen dat men op deze wijze kan definiëren niet afwijkt van het aantal getallen dat men ter beschikking heeft om ze mee te identificeren.
