[wiskunde] Vergelijking van rechten en vlakken.

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 20

Vergelijking van rechten en vlakken.

Hallo iedereen,

Ik probeer deze oefening al geruime tijd optelossen maar telkens geraak ik vast. Wie kan mij helpen?

Gegeven: De rechten a {x= -2 en b {x=1

{y-z=0 {y+z=0

En het vlak gamma <-> y= 3/4

a) bepaal een rechte ck die de rechte a en b snijdt en door het punt (0,0,k) gaat waarbij k een reeël getal is.

b) bepaal de coordinaten van het snijpunt Sk van de rechte ck met het vlak gamma.

c) bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten Sk als het punt P op de z-as doorloopt.

d) Wat stelt deze meetkundige plaats (die een figuur in het vlak gamma is) voor.

Bij a) heb ik met de vlakkenwaaier gewerkt, maar ik weet echt niet hoe ik verder moet:

r.(x+2) +s (y-z) =0

Het punt (0,0,k) invullen:

r (0+2) +s (0-k) =0

2r -ks =0

r= ks/2

Kies s=1; r= k/2

K/2 (x+2) +1 (y-z)=0

K/2x+y-z+k

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Gegeven: De rechten a {x= -2 en b {x=1
{y-z=0 {y+z=0
Deze notatie is mij niet duidelijk.

De vlakken y-z=0 en y+z=0 hebben een snijlijn welke lijn is dat? Kan je dat omschrijven?

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

De rechte a heeft als vgl

a <-> x=2

______y-z=0

De rechte b

B <-> x=1

______y+z=0

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Laat (2,p,p) een punt op a en (1,p,-p) een punt op b zijn. Veronderstel dat ck door deze punten gaat. Wat voor carthesische vergelijking heeft  ck dan als je weet dat (0,0,k) ook op ck ligt?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Hoe moet ik dat berekenen?

In de les hebben we gezien dat we dit met een vlakkenwaaier kunnen berekenen.

Door a:

r(2+x) + s(y-z)=0

2r -ks=0 Want (0,0,k) is een element van a.

Stel s=1 ; r=k/2

K/2 (2+x) + 1 (y-z)=0

K/2x +y -z +k =0

Door b:

r(x-1) +s(y+z)=0

-r +ks=0 want (0,0,k) is een element van b

Kies s=1 ; r=k

Kx +y +z -k=0

De vergelijking van a zijn dan dus de 2 laatste vgl.

Om dan de cartische vorm te bepalen, moet je dit dan doen m.b.v matrices?

Dus dan zou je dit verkrijgen:

K/2 1 -1 | -k

K 1 1 | k

Deze moet ik dan met de spil methode volledig verder uitwerken zeker, met de grm lukt dit niet want er zit een letter k in.

Wanneer ik 2x de spil toegepast heb verkrijg ik dit:

x +4/kz =-4

y -3z =-3k

Stel z=r

X=-4 -4/kr

Y= -3k +3r

z= r

Bij de antwoorden zou er echter bij x niet -4 en bij y -3k mogen staan, maar het punt (0,0,k)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Je weet dus al dat ½kx+y-z+k = 0 en kx+y-z+k = 0. Merk op dat hieruit x = 0 of k = 0 volgt. Stel x = 0, wat moet er dan gelden? Wat moet er gelden indien k = 0?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Bij x=0,

k = -y+z , k = -y+z

Bij k=0,

Y = z , y = z

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Jij stelt dat (0,0,k) een punt van a en b is, maar is dat wel zo? Er is weliswaar gegeven dat ck door a en b en het punt (0,0,k) gaat, maar dat wil niet zeggen dat (0,0,k) een punt van a of van b is. Veronderstel zoals ik al aangaf eens dat (2,p,p) een punt op a en (1,p,-p) een punt op b is. Omdat deze punten ook op ck moeten liggen kun je dus met behulp van deze punten en het gegeven punt  (0,0,k) een vlakkenwaaierberekening toepassen. Doe dat eens en kijk eens waar je dan op uitkomt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Voor a bekom ik dan:

r(x+2) +s (y-z)=0

r.4 +s.(0)=0

4r=0

r=0

Voor b bekom ik dan

r(x-1) +s (y+z)=0

r(0) +s (p-p)=0

0=0

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

De rechte a heeft als vgl
a <-> x=2
______y-z=0
In je eerste post zeg je dat a in x=-2 ligt, dus wat is de opgave?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Jonas Vermeulen schreef: Stel z=r

X=-4 -4/kr

Y= -3k +3r

z= r

Bij de antwoorden zou er echter bij x niet -4 en bij y -3k mogen staan, maar het punt (0,0,k)
 
Dat 'mag' wel, die voorstelling is immers niet uniek. Als je niet voor z = r, maar voor z = k+r had gekozen, dan krijg je de modeloplossing.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

In je eerste post zeg je dat a in x=-2 ligt, dus wat is de opgave?
a <-> x=-2

______y-z=0

b <-> x=1

______y+z=0

Gamma <-> y=3/4

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Dat 'mag' wel, die voorstelling is immers niet uniek. Als je niet voor z = r, maar voor z = k+r had gekozen, dan krijg je de modeloplossing.
Ja idd. dus ik ben toch juist.

Hoe kan je nu controleren hoe uw steunpunt en zo uw vgl wel juist is?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Wat bedoel je precies? Jouw snijpunt was dus oké, dat van de modeloplossing ook.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 20

Re: Vergelijking van rechten en vlakken.

Wel hoe dat ik kan nagaan wanneer mijn steunpunt correct is tov de modeloplossing

Reageer