De rij / reeks-puzzel

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 2

De rij / reeks-puzzel

De betekenis van het woord ‘reeks’ in wiskundeteksten is nogal variabel en is soms

moeilijk te achterhalen.  Hieronder is geprobeerd die verschillende betekenissen af te

bakenen en onder woorden te brengen.

M. i. verdient het aanbeveling om formuleringen met ‘reeks’ te vermijden, en te kiezen

voor eenduidige( r ) omschrijvingen met ‘rij’. Graag commentaar!

A.  Cauchy

De  Franse wiskundige Cauchy(1789-1857) gebruikte ‘suite’ voor rijen in het algemeen.

Zo ook voor oneindige rijen (afbeeldingen op de natuurlijke getallen) met termen in een

metrische ruimte, waarbij hij het bestaan van een termen-limiet vaak beschreef met

vormen van het werkwoord ‘converger’.   Echter nooit met het adjectief ‘convergente’.

Het woord ‘série’  introduceerde hij voor oneindige rijen met termen (‘quantitées’) die

onderling optelbaar zijn,  dus voor rijen waar een partieelsommenrij bij hoort.  
Rijen met een partieelsommen-limiet karakteriseerde hij met het adjectief ’convergente’.

B.  Verkeerde interpretatie

Cauchy's essentiële betekenisverschil tussen ‘convergeren’ (werkwoord) en

‘convergent’ (adjectief) is door velen niet gezien.  Om toch zijn teksten te kunnen interpreteren, moest men bij ‘série’ aan iets anders denken dan bij ‘suite’. 

Dat heeft al zo'n twee eeuwen lang geleid tot allerlei gekunstelde, nooit echt sluitende,

definitie-pogingen voor ‘série’ (‘series’, ‘Reihe’,‘reeks’), afwijkend van de ‘rij’-definitie. 

Het kunnen voortbestaan van deze situatie zal te maken hebben met het feit dat de

precieze aard van het betekenisverschil tussen ‘rij’ en ‘reeks’ er niet toe doet. Het  

woord ‘reeks’ diende alleen ter indicatie van de tweede betekenis van ‘convergent’ en

‘convergeren’: niet limiet-hebbend maar som-hebbend.

C.  Verbale formuleringen mét en zónder het betekenisloze ‘reeks’ (bij  gegeven rij a)

- de bij rij a horende reeks is convergent                     - rij a is sommeerbaar

- de bij rij a horende reeks is harmonisch /                  - rij a is harmonisch /meetkundig /

   meetkundig / alternerend / rekenkundig / . . .                 alternerend / rekenkundig / . . .

- de som van de bij rij a horende reeks                        - de som van rij a

- de termen van de bij rij a horende reeks                    - de termen van rij a

- de partieelsommenrij van de bij rij a horende reeks   - de partieelsommenrij van rij a

- de bij rij a horende reeks is absoluut-convergent       - rij a is absoluut-sommeerbaar 

- de bij rij a horende reeks is cesàro-convergent          - rij a is cesàro-sommeerbaar   

D.  ‘Reeks’  als naam voor bepaalde uitdrukkingen

Het koppelen van de naam ‘reeks’ aan bepaalde uitdrukkingen in formulevorm (zoals

de grote-sigma-vorm  Σ a  en de plussen-en-punten-vorm  a1 + a2 + a3+ ··· )  leidt tot

oneigenlijke woordcombinaties als ‘convergente vorm’,  ‘meetkundige vorm’,  ‘som van

een vorm’,  etc.  Door E.J. Dijksterhuis is daar al in 1927 een uitgebreide beschouwing

aan gewijd in de voorloper van het blad EUCLIDES  jaargang 3, afl. 3-4, p.98-101 , met

als conclusie:  het beschouwen van een oneindige reeks als een uitdrukking

in plaats van een rij,  lijkt minder gewenscht
.

E.  Vijf betekenissen van 'reeks'

1. oneindige rij (afbeelding op de natuurlijke getallen);

2. oneindige rij met termen uit een verzameling met een optelling en een metriek;

3. een betekenisloos woord in een woordgroep die als geheel wél betekenis heeft;  

4. de combinatie van een formulevorm voor een rij en voor de functie die aan een rij

    z’n partieelsommenrij toevoegt;

5. de combinatie van een formulevorm voor een rij en voor de functie die aan een rij

    z’n somwaarde toevoegt.

F.  Meer hierover in:
http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2008-09-4-285.pdf
http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2009-10-1-062.pdf
https://nl.wikipedia.org/wiki/Overleg:Reeks_(wiskunde)  secties 16, 18, 50

 
 
 

 

Reageer