Vectoren

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 257

Vectoren

Hallo
 
Op onderstaand bestand snap ik niet zo goed hoe de afleiding gebeurt van de vectoren.
Ik snap ook niet zo goed hoe we kunnen besluiten dat als het linkerlid = 0 we kunnen besluiten dat a Loodrecht staat op da/dt?
 
Iemand die mij dit kan uitleggen aub?
 
Groetjes

Katrien
Schermafbeelding 2017-09-30 om 12.46.43.png
Schermafbeelding 2017-09-30 om 12.46.43.png (876.8 KiB) 699 keer bekeken

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Vectoren

De eerste 2 regels komen overeen met de regels voor het differentiëren van a·f(x) en de somregel voor het differentiëren van de som van 2 functies. De laatste 2 regels komen overeen met de regel voor het differentiëren van een product van 2 functies. Bedenk dat het inwendig product of inproduct van 2 vectoren nul is als de vectoren loodrecht op elkaar staan.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: Vectoren

Hallo,
 
Wat u daar uitlegt snap ik wel het is echter wat daaronder staat dat ik niet zo goed snap.
(De 2de regel onder de gele fluo?)

Ik zie dat het 2 vectoren zijn dus a en de afgeleide van a over de tijd.
maar ik zie geen introduct staan enkel een gewoon product?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Vectoren

Bepaal eens de afgeleide van het inproduct van een vector met zichzelf en kijk eens wat je dan als uitdrukking krijgt.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Vectoren

katrien van den boss schreef: Ik zie dat het 2 vectoren zijn dus a en de afgeleide van a over de tijd.
maar ik zie geen introduct staan enkel een gewoon product?
 
Tussen twee vectoren kan alleen een inproduct of uitproduct staan, maar geen gewoon product.
Bekijk die afleiding nog eens goed.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren

katrien van den boss schreef: Ik zie dat het 2 vectoren zijn dus a en de afgeleide van a over de tijd.
maar ik zie geen introduct staan enkel een gewoon product?
 
Ze vertrekken van
 
\(\vec a \cdot \vec a = a^2\)
 
Beschouw nu a als functie van de tijd. De afgeleide van het rechterlid noteren zij (een beetje verwarrend?) in het linkerlid en volgt uit de kettingregel:
 
\(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} a^2 = 2a\frac{\mbox{d}a}{\mbox{d}t}\)
 
De afgeleide van het rechterlid volgt uit de regel voor afleiden van een scalair product (zie eigenschap hogerop en neem b = a):
 
\(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\vec a\cdot \vec a\right) = \frac{\mbox{d} \vec a}{\mbox{d}t}\cdot \vec a + \vec a \cdot \frac{\mbox{d} \vec a}{\mbox{d}t}=2\;\vec a\cdot\frac{\mbox{d}\vec a}{\mbox{d}t}\)
 
Waarbij de laatste overgang volgt uit de commutativiteit van het scalair product. Merk wel op dat daar nog steeds een scalair product hoort te staan tussen de vector a en zijn afgeleide naar de tijd; dat lijkt te ontbreken in je nota's.
 
Als nu de grootte van de vector a constant is, is het linkerlid in de uitdrukking in je nota's 0, dus staan de vectoren rechts loodrecht op elkaar. Helpt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: Vectoren

hallo,
 
Alvast bedankt voor de zeer hulpvolle uitleg. Ik had enkel nog een kort vraagje hierbij..
 
"Waarbij de laatste overgang volgt uit de commutativiteit van het scalair product. Merk wel op dat daar nog steeds een scalair product hoort te staan tussen de vector a en zijn afgeleide naar de tijd; dat lijkt te ontbreken in je nota's."
 
​Bedoelt u dan dat ze het scalair en het vectorieel product door elkaar noteren?
​Want u hebt de vectoriële product opgeschreven en dan hebt u het scalaire product apart opgeschreven.?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren

Ik denk dat je wat in de war bent met die producten: zowel het scalair product, ook wel (standaard) in(wendig) product genoemd, als het vectorieel product zijn producten tussen vectoren. Het eerste geeft als resultaat een getal (een scalair), het tweede geeft als resultaat een vector. Verwar het eerste niet met de scalaire vermenigvuldiging van een getal (scalair) met een vector. Er is in de afleiding van hierboven nergens sprake van een vectorieel product. In je oorspronkelijke scan komt dat enkel voor in de vierde eigenschap (notatie: a x b).
 
Mijn opmerking slaat op het feit dat in jouw scan, het zwevend puntje als symbool voor het scalair product ontbreekt in het stuk:
 
\(2\;\vec a\cdot\frac{\mbox{d}\vec a}{\mbox{d}t}\)
 
Ik denk dat ze bedoelen: als a constant is, is da/dt (niet de afgeleide van de vector a, maar van de grootte a) gelijk aan 0 en dus is het scalair product (zoals hierboven genoteerd; in jouw nota's in het rechterlid i.p.v. in het linkerlid zoals zij schrijven) ook 0, en dus staan die vectoren loodrecht op elkaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: Vectoren

Hallo,
 
Ik bedoelde ook die zwevende symbolen ik kon me alleen niet zo goed uitdrukken..

Idd maar nu snap ik het!
 
Bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren

Oké, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer