klassieke mechanica
- Berichten: 257
klassieke mechanica
Hallo,
Ik heb een vraagje bij de volgende DIA,
Ik snap niet goed waarom de afleiding wanneer we de Hamiltoniaan partieel afleiden naar q dat het eerste deel van de vgl dan wegvalt.
Om zo de vgl daaronder te bekomen?
Kan iemand mij dit uitleggen aub..
Ik heb een vraagje bij de volgende DIA,
Ik snap niet goed waarom de afleiding wanneer we de Hamiltoniaan partieel afleiden naar q dat het eerste deel van de vgl dan wegvalt.
Om zo de vgl daaronder te bekomen?
Kan iemand mij dit uitleggen aub..
- Bijlagen
-
- Schermafbeelding 2017-11-03 om 17.38.07.png (215.75 KiB) 672 keer bekeken
-
- Berichten: 703
Re: klassieke mechanica
Omdat dat eerste deel van de Hamiltoniaan een functie is van
Dus
\(\dot{q}\)
en niet van \(q\)
. Dat zijn aparte coördinaten in de faseruimte.Dus
\(\frac{\partial}{\partial q_i} (p_j \dot{q}_j) = 0 \qquad \forall (i,j).\)
-
- Berichten: 546
Re: klassieke mechanica
Bovenstaande klopt volgens mij niet.
In het hamiltonformalisme zijn de q's en de p's onafhankelijke coordinaten. Dat betekent dat q' = q'(q,p). Als je dan correct de 'totale' afgeleide van beide termen neemt naar een zekere qi vallen er twee termen tegen elkaar weg, waardoor je het juiste antwoord krijgt.
Bovenstaande bewering van mvd is dus mijns inziens onjuist.
In het hamiltonformalisme zijn de q's en de p's onafhankelijke coordinaten. Dat betekent dat q' = q'(q,p). Als je dan correct de 'totale' afgeleide van beide termen neemt naar een zekere qi vallen er twee termen tegen elkaar weg, waardoor je het juiste antwoord krijgt.
Bovenstaande bewering van mvd is dus mijns inziens onjuist.
-
- Berichten: 703
Re: klassieke mechanica
@Th.B, je hebt gelijk. Het was even geleden en ik was wat te kort door de bocht. Ik heb even opgezocht hoe het ook alweer zat:
Per definitie hebben we:
Dan vind je:
We weten per definitie dat:
Als we dat invullen vinden we dus:
Per definitie hebben we:
\(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}, \quad \dot{p}_j = \frac{\partial L}{\partial q_j},\)
en\(H = \sum\limits_j \dot{q}_j p_j - L,\)
met \(H = H(\vec{q}, \vec{p}, t), \quad L = L(\vec{q}, \dot{\vec{q}}, t)\)
Dan vind je:
\(\frac{\partial H}{\partial p_i }= \sum\limits_j \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i } p_j +\sum\limits_j \dot{q}_j \frac{\partial p_j}{\partial p_i } - \sum\limits_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j }\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i }\)
We weten per definitie dat:
\(p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j},\)
en ook dat\(\frac{\partial p_j}{\partial p_i}= \left\{ \begin{array}{c}
0\quad \mathrm{if }\;i \neq j \\
1\quad \mathrm{if }\;i = j
\end{array}
\right.\)
want de variabelen zijn onafhankelijk.0\quad \mathrm{if }\;i \neq j \\
1\quad \mathrm{if }\;i = j
\end{array}
\right.\)
Als we dat invullen vinden we dus:
\(\frac{\partial H}{\partial p_i }= \sum\limits_j \frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i } p_j +\dot{q}_j - \sum\limits_j p_j\frac{\partial \dot{q}_j}{\partial p_i } = \dot{q}_i\)
Dezelfde afleiding kun je ook toepassen op \(\frac{\partial H}{\partial q_i }.\)
Ik vond deze afleiding erg duidelijk, vanaf pagina 47.