De Lagrangiaan

In een ander topic wordt onderstaande bron genoemd:

http://www.macs.hw.a...m/mechanics.pdf

Ik wil graag precies weten hoe dat met die Lagrangiaan zit. Daarom start ik daar een nieuw topic over. De bovenstaande link zal ik als leidraad gebruiken. En waar ik vastloop stel ik hier mijn vragen.

Veranderd door Professor Puntje, 05 november 2017 - 19:08

Deze notatie vind ik verwarrend. Is onderstaande de bedoeling?

[tex]
 \mbox{J}(\mathsf{y}) \, := \, \int_a^b \mbox{F}(x,\mathsf{y}(x),\mathsf{y'}(x)) \, \mbox{d} x 
[/tex]

Waarin de cursieve x en y de variabelen zijn en de niet-cursieve schreefloze y de functie is die er tussen x en y bestaat, zodat: y = y(x) . De functionaal J werkt dan op de functie y en de integrand is enkel een functie van de variabele x.

Misschien een wat late reactie, maar het idee is dat jouw F alleen van de functie y(x) en zijn afgeleiden afhangt. F is dus een "functie van functies" y(x), y'(x) enzovoort. In de klassieke mechanica hangt de Lagrangiaan (hier: F) meestal alleen via y(x) af van x. De J(y) (de actie) is een functionaal, want je stopt er functies met hun afgeleiden y(x). y'(x) etc. in waar vervolgens een waarde uitkomt (je integreert immers over x tussen twee randwaarden x=a en x=b). Waar een functie dus een afbeelding is van twee deelverzamelingen van (zeg) R, is een functioneel een afbeelding van een functieruimte naar R.

Dat J een functionaal is dat is mij duidelijk, maar dat ook F een functionaal is dat zie ik nog niet. Wat zijn hier precies de argumenten van F? Heeft F als argumenten x, y en y' (dus een reëel getal en twee reële functies)? Of zijn de argumenten van F eerder x, y(x) en y'(x) (dus drie reële getallen)?

F: R³ -> R
 
F(x₁,x₂,x₃) = 3x₁ + 5x₂ - 7x₃
 
Zou dit een Lagrangiaan kunnen zijn?

[tex]
S[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx
[/tex]

[tex]
L(y(x), y'(x)) =  \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}
[/tex]

[tex]
\delta S=0
[/tex]

[tex]
\delta y
[/tex]

Veranderd door Michel Uphoff, 02 januari 2018 - 23:33

Met knippen en plakken kopieer je soms ongevraagd stukjes HTML mee.
 

[tex]
 S[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx 
[/tex]

[tex]
 L(y(x), y'(x)) = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} 
[/tex]

[tex]
 L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} 
[/tex]

[tex]
 L(x_1,x_2,x_3) = \sqrt{1+(x_3)^2} 
[/tex]

Veranderd door Professor Puntje, 01 januari 2018 - 18:09

Met knippen en plakken kopieer je soms ongevraagd stukjes HTML mee.
 

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
 S[y(x)] = \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx 
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

 

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
 L(y(x), y'(x)) = \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} 
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Hierboven heb ik die stukjes verwijderd. De ongewenste extra code in je formules kun je weg halen door even op het knopje linksboven in het bewerkingsvenster te klikken. Dan zie je ook de verborgen code. 

Ik zou de Lagrangiaan in je voorbeeld als de onderstaande functie opvatten:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
 L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} 
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
 L(x_1,x_2,x_3) = \sqrt{1+(x_3)^2} 
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Een functie is wiskundig gezien volledig bepaald wanneer je een domein en een codomein hebt gekozen en voor ieder argument (dus hier iedere vector (x₁,x₂,x₃)) uit het domein hebt aangegeven wat de functiewaarde uit het codomein is. In de teksten die ik tot nog toe heb aangetroffen blijft het (helaas) vaag wat voor de Lagrangiaan als domein genomen wordt. Daardoor lukt het mij ook niet er een helder beeld van te krijgen wat voor type functie de Lagrangiaan nu precies is.

[tex]
x^i (t) 
[/tex]

Ik denk dat je in veel natuurkundeboeken niet een hele formele definitie van de Lagrangiaan (en de actie) zult vinden. Veel van deze formele wiskunde gaat onder de naam "symplectische meetkunde", waarin de Lagrangiaan gedefiniëerd wordt in de raakruimte van de configuratieruimte (tesamen: de "raakbundel") waar de functies leven of als een zogenaamde n-vorm wanneer je in n dimensies werkt. Ik heb daar zelf niet zoveel mee; ik zou als domein van de Lagrangiaan een functieruimte in gedachten nemen waarin functies differentiëerbaar zijn. Als codomein krijg je ook weer een functieruimte, zoals je met mijn voorbeeld ziet.

Dan zal ik voor de wiskundige finesses uiteindelijk ook die "symplectische meetkunde" moeten bestuderen, het is niet anders.
 

Zoals ik zei: je zou een concreet voorbeeld moeten doorwerken om er een goed beeld van te krijgen. Het voorbeeld dat ik je gaf is denk ik heel geschikt, ook omdat je al weet wat het antwoord moet zijn.

Als ik tijd heb zal ik je voorbeeld doorwerken om er althans een idee van te krijgen wat de bedoeling is.

Bij nog wat zoeken kwam ik hier uit:

https://nl.wikipedia...ge-vergelijking

En tot mijn grote verrassing wordt daar wel het domein van L vermeld!

Ook de oplossing van je voorbeeld staat daar al.