Springen naar inhoud

De Lagrangiaan


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2017 - 19:07

In een ander topic wordt onderstaande bron genoemd:

 

http://www.macs.hw.a...m/mechanics.pdf

 

Ik wil graag precies weten hoe dat met die Lagrangiaan zit. Daarom start ik daar een nieuw topic over. De bovenstaande link zal ik als leidraad gebruiken. En waar ik vastloop stel ik hier mijn vragen.

Veranderd door Professor Puntje, 05 november 2017 - 19:08


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2017 - 20:39

euler-lagrange.png

 

Deze notatie vind ik verwarrend. Is onderstaande de bedoeling?

 

LaTeX

 

Waarin de cursieve x en y de variabelen zijn en de niet-cursieve schreefloze y de functie is die er tussen x en y bestaat, zodat: y = y(x) . De functionaal J werkt dan op de functie y en de integrand is enkel een functie van de variabele x.


#3

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 118 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2017 - 15:27

Misschien een wat late reactie, maar het idee is dat jouw F alleen van de functie y(x) en zijn afgeleiden afhangt. F is dus een "functie van functies" y(x), y'(x) enzovoort. In de klassieke mechanica hangt de Lagrangiaan (hier: F) meestal alleen via y(x) af van x. De J(y) (de actie) is een functionaal, want je stopt er functies met hun afgeleiden y(x). y'(x) etc. in waar vervolgens een waarde uitkomt (je integreert immers over x tussen twee randwaarden x=a en x=b). Waar een functie dus een afbeelding is van twee deelverzamelingen van (zeg) R, is een functioneel een afbeelding van een functieruimte naar R.


#4

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2017 - 15:50

Dat J een functionaal is dat is mij duidelijk, maar dat ook F een functionaal is dat zie ik nog niet. Wat zijn hier precies de argumenten van F? Heeft F als argumenten x, y en y' (dus een reëel getal en twee reële functies)? Of zijn de argumenten van F eerder x, y(x) en y'(x) (dus drie reële getallen)?


#5

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 118 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2017 - 19:23

Ik zou zeggen dat F via de functie y(x) en zijn afgeleiden y'(x), y''(x) etc van de variabele x afhangt.

Neem eens een expliciet voorbeeld, dat helpt.

#6

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2017 - 19:32

F: R3 -> R
 
F(x1,x2,x3) = 3x1 + 5x2 - 7x3
 
Zou dit een Lagrangiaan kunnen zijn?


#7

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 118 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2018 - 17:03

Ja, in theorie zou dat denk ik wel kunnen, maar ik heb geen idee wat het zou moeten betekenen.
 
Een voorbeeld zou zijn om de lengte van een kromme y(x) uit te rekenen tussen twee vaste punten x=a en x=b. De functionaal die dit voor je doet, is
 
LaTeX
 
Ik gebruik hier de notatie S[y(x)] om aan te geven dat S een functionaal is waarin je een functie y(x) (in dit geval zijn afgeleide) stopt, en waaruit een getal komt (namelijk de lengte van de curve). De Lagrangiaan is in dit geval
 
LaTeX
 
Stel dat je nu die y(x) wilt vinden die de lengte minimaliseert tussen a en b, dan eis je dat de Euler-Lagrange vergelijkingen voor y(x) gelijk zijn aan nul. Of, dat LaTeX voor elke willekeurige LaTeX . Als het goed is zul je dan vinden dat y(x) een rechte lijn beschrijft.
 
[mod]LaTeX code opgeknapt[/mod]

Veranderd door Michel Uphoff, 02 januari 2018 - 23:33


#8

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2018 - 17:50

Met knippen en plakken kopieer je soms ongevraagd stukjes HTML mee.
 
LaTeX


 
LaTeX

Hierboven heb ik die stukjes verwijderd. De ongewenste extra code in je formules kun je weg halen door even op het knopje linksboven in het bewerkingsvenster te klikken. Dan zie je ook de verborgen code. 

Ik zou de Lagrangiaan in je voorbeeld als de onderstaande functie opvatten:

LaTeX

LaTeX

Een functie is wiskundig gezien volledig bepaald wanneer je een domein en een codomein hebt gekozen en voor ieder argument (dus hier iedere vector (x1,x2,x3)) uit het domein hebt aangegeven wat de functiewaarde uit het codomein is. In de teksten die ik tot nog toe heb aangetroffen blijft het (helaas) vaag wat voor de Lagrangiaan als domein genomen wordt. Daardoor lukt het mij ook niet er een helder beeld van te krijgen wat voor type functie de Lagrangiaan nu precies is.

Veranderd door Professor Puntje, 01 januari 2018 - 18:09


#9

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 118 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 januari 2018 - 19:00

Met knippen en plakken kopieer je soms ongevraagd stukjes HTML mee.
 
LaTeX


 
LaTeX

Hierboven heb ik die stukjes verwijderd. De ongewenste extra code in je formules kun je weg halen door even op het knopje linksboven in het bewerkingsvenster te klikken. Dan zie je ook de verborgen code. 

Ik zou de Lagrangiaan in je voorbeeld als de onderstaande functie opvatten:

LaTeX

LaTeX

Een functie is wiskundig gezien volledig bepaald wanneer je een domein en een codomein hebt gekozen en voor ieder argument (dus hier iedere vector (x1,x2,x3)) uit het domein hebt aangegeven wat de functiewaarde uit het codomein is. In de teksten die ik tot nog toe heb aangetroffen blijft het (helaas) vaag wat voor de Lagrangiaan als domein genomen wordt. Daardoor lukt het mij ook niet er een helder beeld van te krijgen wat voor type functie de Lagrangiaan nu precies is.

 
Ok, dank daarvoor.
 
Ik denk dat je in veel natuurkundeboeken niet een hele formele definitie van de Lagrangiaan (en de actie) zult vinden. Veel van deze formele wiskunde gaat onder de naam "symplectische meetkunde", waarin de Lagrangiaan gedefiniëerd wordt in de raakruimte van de configuratieruimte (tesamen: de "raakbundel") waar de functies leven of als een zogenaamde n-vorm wanneer je in n dimensies werkt. Ik heb daar zelf niet zoveel mee; ik zou als domein van de Lagrangiaan een functieruimte in gedachten nemen waarin functies differentiëerbaar zijn. Als codomein krijg je ook weer een functieruimte, zoals je met mijn voorbeeld ziet.
 
Zoals ik zei: je zou een concreet voorbeeld moeten doorwerken om er een goed beeld van te krijgen. Het voorbeeld dat ik je gaf is denk ik heel geschikt, ook omdat je al weet wat het antwoord moet zijn.
 
In de klassieke mechanica is de Lagrangiaan het verschil tussen kinetische en potentiële energie. Je bent dan op zoek naar krommen LaTeX (paden van deeltjes) in de ruimte (geparametriseerd met de tijd t) die de bijbehorende actie minimaliseren. Je Lagrangiaan zal dus afhangen van deze paden en hun tijdsafgeleiden.

#10

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2018 - 07:57

Ik denk dat je in veel natuurkundeboeken niet een hele formele definitie van de Lagrangiaan (en de actie) zult vinden. Veel van deze formele wiskunde gaat onder de naam "symplectische meetkunde", waarin de Lagrangiaan gedefiniëerd wordt in de raakruimte van de configuratieruimte (tesamen: de "raakbundel") waar de functies leven of als een zogenaamde n-vorm wanneer je in n dimensies werkt. Ik heb daar zelf niet zoveel mee; ik zou als domein van de Lagrangiaan een functieruimte in gedachten nemen waarin functies differentiëerbaar zijn. Als codomein krijg je ook weer een functieruimte, zoals je met mijn voorbeeld ziet.


Dan zal ik voor de wiskundige finesses uiteindelijk ook die "symplectische meetkunde" moeten bestuderen, het is niet anders.
 

Zoals ik zei: je zou een concreet voorbeeld moeten doorwerken om er een goed beeld van te krijgen. Het voorbeeld dat ik je gaf is denk ik heel geschikt, ook omdat je al weet wat het antwoord moet zijn.


Als ik tijd heb zal ik je voorbeeld doorwerken om er althans een idee van te krijgen wat de bedoeling is.


#11

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 118 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2018 - 08:54

Mja, ik heb zelf niet zoveel met die formele wiskunde hoewel ik het allemaal heb doorgeploegd; om klassieke mechanica te begrijpen hoef je die formele wiskunde niet te begrijpen. Je snapt het denk ik beter door het te doen.

Overigens wordt het actieprincipe belangrijk als je kwantumveldentheorie met Feynmans padintegraalmethode wilt begrijpen. In de klassieke mechanica is het vooral een curiositeit, denk ik. Daar werk je vooral met Hamiltonianen, maar vanwege de expliciete opsplitsing van ruimte en tijd daarin wordt dit nogal bewerkelijk (lees:waarnemerafhankelijk) in relativistische theorieën.

#12

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3173 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2018 - 19:33

Bij nog wat zoeken kwam ik hier uit:

https://nl.wikipedia...ge-vergelijking

 

En tot mijn grote verrassing wordt daar wel het domein van L vermeld! :D

 

Ook de oplossing van je voorbeeld staat daar al.


#13

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 118 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2018 - 08:30

Ja, het is een bekend voorbeeld, want je bewijst ermee dat geodeten in het vlak gegeven worden door rechte lijnen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures