Springen naar inhoud

Wiskunde: lineaire algebra


  • Log in om te kunnen reageren

#1

sanu

    sanu


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 november 2017 - 13:27

Hallo!

 

Opgave

Zoek alle lineaire functies f : R^3 → R die voldoen aan f(1, 2, 3) = 1, f(4, 5, 6) = 0, en f(5, 7, 9) = 1. Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

 

Ik heb een poging gedaan en kom uit op het volgende: 

f: R^3 → R : x -> AX + B met A = 1x3 matrix en B = 1x1 matrix. Dus

 

"A (1 2 3) (getallen verticaal opgeschreven, hier horizontaal weergegeven) + B = 1"

Zo is "A (5 7 9) + B = 1"  en bijgevolg ook "A(4 5 6) + B = 0" => hieruit kan ik B afleiden, die is gelijk aan "- A ( 4 5 6)". 

En als ik dit invul in "A (1 2 3) + B = 1" wordt het "A (1 2 3) - A(4 5 6) = 1". Hoe moet ik nu verder? Of is dit een foute aanpak en kan iemand mij wijzen in de richting van de goede methode? 

 

Alvast heel erg bedankt voor uw tijd!

 

 


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 2421 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 november 2017 - 15:42

Terug naar de definitie:

https://nl.wikipedia...aire_afbeelding

Laat nu voor het gemak:

e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .

f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .


Dan hebben we:

f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:

1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Met:

f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .

En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....


(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )

Veranderd door Professor Puntje, 25 november 2017 - 15:49


#3

sanu

    sanu


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 november 2017 - 00:25

Terug naar de definitie:

https://nl.wikipedia...aire_afbeelding

Laat nu voor het gemak:

e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .

f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .


Dan hebben we:

f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:

1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Met:

f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .

En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....


(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )

Oké, snap ik! Heel erg bedankt! In dit geval bevond uitkomst (=1) in R, hoe zou het moeten zijn indien in de opgave stond dat de uitkomst (0,2) was? Dus gaande van R^3 naar R^2? 


#4

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 2421 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2017 - 11:28

Bedoel je dit?

 

Opgave

Zoek alle lineaire functies f : R3R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

Veranderd door Professor Puntje, 26 november 2017 - 11:29


#5

sanu

    sanu


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 november 2017 - 17:09

Bedoel je dit?

 

Opgave

Zoek alle lineaire functies f : R3R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

Ja precies! 


#6

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 2421 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2017 - 21:54

Nieuwe opgave

Zoek alle lineaire functies f : R3R2 die voldoen aan:
 
f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;
 
f((4, 5, 6)) = (0, 0) ;
 
f((5, 7, 9)) = (0, 2) .
 
Hoeveel van zulke lineaire functies f zijn er, en beschrijf die functies indien ze er zijn.
 
 
Oplossing:
 
Laat:
 
d1 = (1,0,0); d2 = (0,1,0); d3 = (0,0,1)
 
e1 = (1,0); e2 = (0,1)
 
f(d1) = f1,1 . e1 + f1,2 . e2
 
f(d2) = f2,1 . e1 + f2,2 . e2
 
f(d3) = f3,1 . e1 + f3,2 . e2
 
Dan hebben we:
 
f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;
 
f((1 . d1 + 2. d2 + 3 . d3)) = 0 . e1 + 2 . e2
 
1 . f(d1) + 2. f(d2) + 3 . f(d3) = 0 . e1 + 2 . e2
 
1 . (f1,1 . e1 + f1,2 . e2) + 2. (f2,1 . e1 + f2,2 . e2) + 3 . (f3,1 . e1 + f3,2 . e2) = 0 . e1 + 2 . e2
 
(1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1) . e1 + (1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2) . e2 = 0 . e1 + 2 . e2
 
Dus:
 
1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1  = 0     (1)
 
en
 
1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2  = 2     (2)
 
 
Kun je nu zelf de vergelijkingen (3), (4), (5) en (6) vinden?

 






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures