Wiskunde: lineaire algebra
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 3
Wiskunde: lineaire algebra
Hallo!
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R^3 → R die voldoen aan f(1, 2, 3) = 1, f(4, 5, 6) = 0, en f(5, 7, 9) = 1. Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
Ik heb een poging gedaan en kom uit op het volgende:
f: R^3 → R : x -> AX + B met A = 1x3 matrix en B = 1x1 matrix. Dus
"A (1 2 3) (getallen verticaal opgeschreven, hier horizontaal weergegeven) + B = 1"
Zo is "A (5 7 9) + B = 1" en bijgevolg ook "A(4 5 6) + B = 0" => hieruit kan ik B afleiden, die is gelijk aan "- A ( 4 5 6)".
En als ik dit invul in "A (1 2 3) + B = 1" wordt het "A (1 2 3) - A(4 5 6) = 1". Hoe moet ik nu verder? Of is dit een foute aanpak en kan iemand mij wijzen in de richting van de goede methode?
Alvast heel erg bedankt voor uw tijd!
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R^3 → R die voldoen aan f(1, 2, 3) = 1, f(4, 5, 6) = 0, en f(5, 7, 9) = 1. Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
Ik heb een poging gedaan en kom uit op het volgende:
f: R^3 → R : x -> AX + B met A = 1x3 matrix en B = 1x1 matrix. Dus
"A (1 2 3) (getallen verticaal opgeschreven, hier horizontaal weergegeven) + B = 1"
Zo is "A (5 7 9) + B = 1" en bijgevolg ook "A(4 5 6) + B = 0" => hieruit kan ik B afleiden, die is gelijk aan "- A ( 4 5 6)".
En als ik dit invul in "A (1 2 3) + B = 1" wordt het "A (1 2 3) - A(4 5 6) = 1". Hoe moet ik nu verder? Of is dit een foute aanpak en kan iemand mij wijzen in de richting van de goede methode?
Alvast heel erg bedankt voor uw tijd!
- Berichten: 7.463
Re: Wiskunde: lineaire algebra
Terug naar de definitie:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding
Laat nu voor het gemak:
e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .
f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .
Dan hebben we:
f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1
f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0
f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1
Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:
1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1
4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0
5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1
Met:
f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .
En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....
(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding
Laat nu voor het gemak:
e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .
f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .
Dan hebben we:
f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1
f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0
f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1
Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:
1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1
4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0
5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1
Met:
f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .
En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....
(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )
-
- Berichten: 3
Re: Wiskunde: lineaire algebra
Oké, snap ik! Heel erg bedankt! In dit geval bevond uitkomst (=1) in R, hoe zou het moeten zijn indien in de opgave stond dat de uitkomst (0,2) was? Dus gaande van R^3 naar R^2?Professor Puntje schreef: Terug naar de definitie:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding
Laat nu voor het gemak:
e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .
f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .
Dan hebben we:
f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1
f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0
f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1
Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:
1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1
4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0
5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1
Met:
f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .
En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....
(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )
- Berichten: 7.463
Re: Wiskunde: lineaire algebra
Bedoel je dit?
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R3 → R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R3 → R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
-
- Berichten: 3
Re: Wiskunde: lineaire algebra
Ja precies!Professor Puntje schreef: Bedoel je dit?
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R3 → R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
- Berichten: 7.463
Re: Wiskunde: lineaire algebra
Nieuwe opgave
Zoek alle lineaire functies f : R3 → R2 die voldoen aan:
f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;
f((4, 5, 6)) = (0, 0) ;
f((5, 7, 9)) = (0, 2) .
Hoeveel van zulke lineaire functies f zijn er, en beschrijf die functies indien ze er zijn.
Oplossing:
Laat:
d1 = (1,0,0); d2 = (0,1,0); d3 = (0,0,1)
e1 = (1,0); e2 = (0,1)
f(d1) = f1,1 . e1 + f1,2 . e2
f(d2) = f2,1 . e1 + f2,2 . e2
f(d3) = f3,1 . e1 + f3,2 . e2
Dan hebben we:
f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;
f((1 . d1 + 2. d2 + 3 . d3)) = 0 . e1 + 2 . e2
1 . f(d1) + 2. f(d2) + 3 . f(d3) = 0 . e1 + 2 . e2
1 . (f1,1 . e1 + f1,2 . e2) + 2. (f2,1 . e1 + f2,2 . e2) + 3 . (f3,1 . e1 + f3,2 . e2) = 0 . e1 + 2 . e2
(1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1) . e1 + (1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2) . e2 = 0 . e1 + 2 . e2
Dus:
1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1 = 0 (1)
en
1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2 = 2 (2)
Kun je nu zelf de vergelijkingen (3), (4), (5) en (6) vinden?
Zoek alle lineaire functies f : R3 → R2 die voldoen aan:
f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;
f((4, 5, 6)) = (0, 0) ;
f((5, 7, 9)) = (0, 2) .
Hoeveel van zulke lineaire functies f zijn er, en beschrijf die functies indien ze er zijn.
Oplossing:
Laat:
d1 = (1,0,0); d2 = (0,1,0); d3 = (0,0,1)
e1 = (1,0); e2 = (0,1)
f(d1) = f1,1 . e1 + f1,2 . e2
f(d2) = f2,1 . e1 + f2,2 . e2
f(d3) = f3,1 . e1 + f3,2 . e2
Dan hebben we:
f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;
f((1 . d1 + 2. d2 + 3 . d3)) = 0 . e1 + 2 . e2
1 . f(d1) + 2. f(d2) + 3 . f(d3) = 0 . e1 + 2 . e2
1 . (f1,1 . e1 + f1,2 . e2) + 2. (f2,1 . e1 + f2,2 . e2) + 3 . (f3,1 . e1 + f3,2 . e2) = 0 . e1 + 2 . e2
(1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1) . e1 + (1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2) . e2 = 0 . e1 + 2 . e2
Dus:
1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1 = 0 (1)
en
1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2 = 2 (2)
Kun je nu zelf de vergelijkingen (3), (4), (5) en (6) vinden?