Wiskunde: lineaire algebra

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 3

Wiskunde: lineaire algebra

Hallo!
 
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R^3 → R die voldoen aan f(1, 2, 3) = 1, f(4, 5, 6) = 0, en f(5, 7, 9) = 1. Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
 
Ik heb een poging gedaan en kom uit op het volgende: 
f: R^3 → R : x -> AX + B met A = 1x3 matrix en B = 1x1 matrix. Dus
 
"A (1 2 3) (getallen verticaal opgeschreven, hier horizontaal weergegeven) + B = 1"
Zo is "A (5 7 9) + B = 1"  en bijgevolg ook "A(4 5 6) + B = 0" => hieruit kan ik B afleiden, die is gelijk aan "- A ( 4 5 6)". 
En als ik dit invul in "A (1 2 3) + B = 1" wordt het "A (1 2 3) - A(4 5 6) = 1". Hoe moet ik nu verder? Of is dit een foute aanpak en kan iemand mij wijzen in de richting van de goede methode? 
 
Alvast heel erg bedankt voor uw tijd!
 
 

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Wiskunde: lineaire algebra

Terug naar de definitie:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding

Laat nu voor het gemak:

e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .

f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .

Dan hebben we:

f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:

1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Met:

f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .

En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....

(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )

Berichten: 3

Re: Wiskunde: lineaire algebra

Professor Puntje schreef: Terug naar de definitie:

https://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_afbeelding

Laat nu voor het gemak:

e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) .

f1= f(e1); f2 = f(e2); f3 = f(e3) .

Dan hebben we:

f((1, 2, 3)) = f(1e1 + 2e2 + 3e3) = 1.f(e1) + 2.f(e2) + 3.f(e3) = 1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

f((4,5,6)) = f(4e1 + 5e2 + 6e3) = 4.f(e1) + 5.f(e2) + 6.f(e3) = 4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

f((5,7,9)) = f(5e1 + 7e2 + 9e3) = 5.f(e1) + 7.f(e2) + 9.f(e3) = 5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Voor zover er lineaire afbeeldingen f van het gezochte type zijn geldt daar dus voor:

1.f1 + 2.f2 + 3.f3 = 1

4.f1 + 5.f2 + 6.f3 = 0

5.f1 + 7.f2 + 9.f3 = 1

Met:

f((x,y,z)) = x.f1 + y.f2 + z.f3 .

En de (eventuele) oplossingen voor f1, f2 en f3 van het stelsel vergelijkingen kun je berekenen....

(Of dit de standaardaanpak is, weet ik niet. Maar zo zou ik het doen. )
Oké, snap ik! Heel erg bedankt! In dit geval bevond uitkomst (=1) in R, hoe zou het moeten zijn indien in de opgave stond dat de uitkomst (0,2) was? Dus gaande van R^3 naar R^2? 

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Wiskunde: lineaire algebra

Bedoel je dit?
 
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R3R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.

Berichten: 3

Re: Wiskunde: lineaire algebra

Professor Puntje schreef: Bedoel je dit?
 
Opgave
Zoek alle lineaire functies f : R3R2 die voldoen aan f((1, 2, 3)) = (0,2), f((4, 5, 6)) = (0,0), en f((5, 7, 9)) = (0,2). Hoeveel lineaire functies zijn er, en beschrijf ze indien er oplossingen zijn.
Ja precies! 

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Wiskunde: lineaire algebra

Nieuwe opgave

Zoek alle lineaire functies f : R3R2 die voldoen aan:

 

f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;

 

f((4, 5, 6)) = (0, 0) ;

 

f((5, 7, 9)) = (0, 2) .

 

Hoeveel van zulke lineaire functies f zijn er, en beschrijf die functies indien ze er zijn.

 

 
Oplossing:

 

Laat:

 
d1 = (1,0,0); d2 = (0,1,0); d3 = (0,0,1)

 
e1 = (1,0); e2 = (0,1)

 

f(d1) = f1,1 . e1 + f1,2 . e2

 

f(d2) = f2,1 . e1 + f2,2 . e2

 

f(d3) = f3,1 . e1 + f3,2 . e2

 

Dan hebben we:

 

f((1, 2, 3)) = (0, 2) ;

 

f((1 . d1 + 2. d2 + 3 . d3)) = 0 . e1 + 2 . e2

 

1 . f(d1) + 2. f(d2) + 3 . f(d3) = 0 . e1 + 2 . e2

 

1 . (f1,1 . e1 + f1,2 . e2) + 2. (f2,1 . e1 + f2,2 . e2) + 3 . (f3,1 . e1 + f3,2 . e2) = 0 . e1 + 2 . e2

 

(1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1) . e1 + (1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2) . e2 = 0 . e1 + 2 . e2

 

Dus:

 

1 . f1,1 + 2. f2,1 + 3 . f3,1  = 0     (1)

 

en

 

1 . f1,2 + 2. f2,2 + 3 . f3,2  = 2     (2)

 

 

Kun je nu zelf de vergelijkingen (3), (4), (5) en (6) vinden?
 

Reageer