convoluties

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 257

convoluties

Beste,
 
Ik Heb het idee achter convoluties (denk ik) begrepen maar ik snap niet zo goed hoe ik bij onderstaande functie mijn grenzen moet opstellen..

Ik snap ook niet zo goed hoe ik kom aan de x > 0 en de x < 0 .
Ik snap ook niet meer zo goed waarom ik heb opgeschreven dat de verschuiving naar links is en wat dit dan juist wil zeggen?

als iemand zo vriendelijk zou willen zijn mij de grenzen uit te leggen alvast hartelijk bedankt!!
 
Zie onderstaande figuur: Opdracht: bereken de convolutie van F en G.
 
Mijn antwoordblad eronder..
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2017-12-17 om 20.38.34.png
Schermafbeelding 2017-12-17 om 20.38.34.png (645.4 KiB) 679 keer bekeken
Schermafbeelding 2017-12-17 om 20.33.39.png
Schermafbeelding 2017-12-17 om 20.33.39.png (58.61 KiB) 679 keer bekeken
Schermafbeelding 2017-12-17 om 20.34.59.png
Schermafbeelding 2017-12-17 om 20.34.59.png (894.39 KiB) 679 keer bekeken

Berichten: 7.068

Re: convoluties

Het is mij niet helemaal duidelijk wat je bedoelt met de opmerking "naar links". Misschien helpt het om het zo te bekijken:
\(h(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(p) \cdot g(x - p) dp\)
De grenzen die door f veroorzaakt worden zijn simpel:
\(h(x) = k \cdot \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} g(x - p) dp\)
Nu gaan we substitueren:
\(s = x - p\)
\(ds = - dp\)
\(s_{\mbox{onder}} = x - (-\frac{a}{2}) = x + \frac{a}{2}\)
\(s_{\mbox{boven}} = x - (\frac{a}{2}) = x - \frac{a}{2}\)
Dus:
\(h(x) = -k \cdot \int_{x + \frac{a}{2}}^{x - \frac{a}{2}} g(s) ds = k \cdot \int_{x - \frac{a}{2}}^{x + \frac{a}{2}} g(s) ds\)
Er zijn vijf situaties:
Het interval van s ligt helemaal onder het interval waar de functie g een waarde ongelijk nul heeft:
\(x + \frac{a}{2} \leq -\frac{a}{2} \rightarrow x \leq -a \rightarrow h(x) = 0\)
Het interval van s ligt met de bovenkant in het interval van g, maar met de onderkant niet:
\(-\frac{a}{2} < x + \frac{a}{2} < \frac{a}{2} \rightarrow -a < x < 0 \rightarrow h(x) = k \cdot \int_{-\frac{a}{2}}^{x + \frac{a}{2}} g(s) ds\)
De intervallen liggen precies over elkaar heen:
\(x = 0 \rightarrow h(x) = k \cdot \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} g(s) ds\)
Het interval van s ligt met de onderkant in het interval van g, maar met de bovenkant niet:
\(-\frac{a}{2} < x - \frac{a}{2} < \frac{a}{2} \rightarrow 0 < x < a \rightarrow h(x) = k \cdot \int_{x - \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} g(s) ds\)
Het interval van s ligt helemaal boven het interval waar de functie g een waarde ongelijk nul heeft:
\(x - \frac{a}{2} \geq \frac{a}{2} \rightarrow x \geq a \rightarrow h(x) = 0\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: convoluties

Voor g(x) teken je een driehoek, maar dat is niet de grafiek van g(x) = x voor |x| < a/2...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: convoluties

Hallo,
 
Mijn excuses dat ik zo laat antwoord ik was deze post (van mezelf) helemaal over het hoofd gezien.
Ik heb de 2 functies overnieuw getekend.

Ik neem aan dat ze nu wel kloppen?

Ik ben mee tot waar ik heb genoteerd maar dan met de 5 situaties snap ik het niet meer zo goed..

(ik weet wel dat de ene functie over de andere loopt maar ik zie dit hier niet zo goed in..)
 
Alvast bedankt!
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-14 om 00.53.32.png
Schermafbeelding 2018-01-14 om 00.53.32.png (829.01 KiB) 679 keer bekeken

Berichten: 7.068

Re: convoluties

Hopelijk helpt de volgende gedachte:

In de grenzen van de integraal zit x. Dit is effectief een verschuiving van het integratiegebied. De lengte van het integratiegebied is a.

Stel je de getallenlijn voor. Geef hierop het gebied aan waarop g(s) een waarde heeft ongelijk nul:
\(-\frac{a}{2} \leq s \leq \frac{a}{2}\)
Stel je voor dat x een zeer negatieve waarde heeft (-100 * a of zo). Bedenk waar dit gebiedje zit op de getallenlijn. Er is op dit moment geen overlap (situatie 1).
Stel je nu voor wat er gebeurt als x groter wordt. Het gebiedje zal dan naar rechts bewegen. Op een gegeven moment zal de rechterkant van het bewegende gebied overlappen met de linkerkant van het gebied van de functie g (situatie 2).
Als je verder gaat, overlappen beide gebieden op een gegeven moment helemaal (situatie 3).
enz.

Reageer