Springen naar inhoud

Wiskunde van de ART


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 december 2017 - 22:09

Discussies over de ART gaan vaak de mist in omdat de kennis van de wiskunde van die theorie (tensorrekening en differentiaalmeetkunde) tekort schiet. In dit topic wil ik nog eens wagen om de ART in wiskundige zin meester te worden. Laat iedereen die die daar ook in geïnteresseerd is vooral mee discussiëren!

 

Persoonlijk ben ik nogal gecharmeerd van de YouTube-serie "The WE-Heraeus International Winter School on Gravity and Light ". Maar andere suggesties zijn welkom. Het belangrijkste is dat we voor een bepaalde aanpak of route kiezen.


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2544 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2017 - 13:17

Ben je inmiddels vertrouwd met tensoren?

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#3

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 december 2017 - 13:47

Ben je inmiddels vertrouwd met tensoren?

 

Vertrouwd is een groot woord, maar ik begrijp inmiddels wat voor "dingen" het zijn. Dat was voor mij vroeger een groot obstakel omdat ik een hekel heb aan de formalistische opvatting van wiskunde als een betekenisloos spel. De wiskundige definitie van tensoren begrijp ik inmiddels, dat wil zeggen de versie van tensoren als multilineaire afbeeldingen van het cartesische product VxVxVx...xVxV*xV*xV*...xV* (bestaande uit p keer de vectorruimte V en q keer de daaraan duale vectorruimte V*) in R.

Veranderd door Professor Puntje, 23 december 2017 - 13:54


#4

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 december 2017 - 15:01

We zouden ook onderstaande tekst kunnen gebruiken:

https://www.research...-Relativity.pdf

Nog belangstellenden die dit reisje mee willen maken? Ik heb deze tekst zelf al een tijd in uitgeprinte vorm in de kast staan. En het probleem is ook niet om daar aan te beginnen, maar om de studie door te zetten als het moeilijk wordt. Een degelijke onderneming breng je gemakkelijker tot een goed einde als je daar met een groepje van meerdere personen mee aan de slag gaat.

Veranderd door Professor Puntje, 26 december 2017 - 15:05


#5

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2017 - 00:30

We zouden ook onderstaande tekst kunnen gebruiken:
https://www.research...-Relativity.pdf

 
Ik ben er inmiddels mee begonnen, maar ik zit nu met een vraag over viervectoren. Hoe wordt de exacte vorm van die vectoren gevonden? Berust dat op een educated guess waarna men zo nodig door berekening nog kan controleren dat het inderdaad viervectoren zijn (dat wil zeggen dat hun componenten voor verschillende inertiaalwaarnemers aan de Lorentztransformatie gehoorzamen)? Of kan men binnen de SRT ook direct bewijzen dat de viervectoren zo moeten zijn als we ze nu kennen?


#6

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2544 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2017 - 08:36

Over welke viervectoren heb je het, en wat bedoel je met de "vorm" van de viervectoren?

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#7

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2017 - 09:31

Dunsby noemt in elk geval de volgende:

 

- vier-snelheid

- vier-impuls

- vier-versnelling

- vier-kracht

 

Nu staat het een ieder vrij te definiëren wat men wil, maar zodra men daar ook een fysische betekenis aan toe schrijft kun je het mis hebben. Meer specifiek is het mij niet duidelijk hoe uit de twee postulaten van de SRT volgt dat die viervectoren precies de componenten moeten hebben die eraan worden toegeschreven en waarom de fysische betekenis die aan de betreffende vier-vectoren gegeven wordt dan de juiste is.


#8

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2017 - 15:17

Gevonden! In Bernard Schutz' boek A First Course in General Relativity (Second Edition) lezen we op bladzijde 43 dat de wet op het behoud van de impuls viervector de status heeft van een extra postulaat naast de bekende twee postulaten van de SRT.

Aangezien ook de klok hypothese al een extra postulaat is moeten we vaststellen dat de SRT in haar logische opbouw (helaas!) op heel wat meer berust dan de bekende twee postulaten. Dit in tegenstelling tot wat er in veel populaire teksten beweerd wordt. Aan de andere kant heeft het voor het begrip van de SRT als natuurkundige theorie ook zijn voordelen wanneer we beseffen dat een rigoureus wiskundige aanpak vanuit enkel de twee postulaten sowieso onhaalbaar is. Een wat soepeler aanpak en begripsvorming is dan gepast.


#9

Marko

    Marko


  • >5k berichten
  • 9364 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 december 2017 - 12:15

De SRT is een natuurkundige theorie gestoeld op 2 postulaten. Impulsbehoud is voor de afleiding van de lorentztransformaties binnen het raamwerk van de SRT niet nodig. De populaire, en ook minder populaire, werken, hebben het bij het rechte eind.

 

Voor de beschrijving van mechanica binnen dit raamwerk is de aanname dat impulsbehoud ook in de relativistische limiet geldt inderdaad (uiteraard) wél nodig. Maar dat is ongeveer net zo spannend als dat men voor de afleiding van E=mc2 moet aannemen dat de wet van behoud van energie geldig is. Het is geen postulaat dat speciaal voor de SRT moet worden opgesteld, het is er een die onder de gehele natuurkunde een fundament vormt en die dus ook geacht wordt geldig te zijn binnen de SRT.

Cetero censeo Senseo non esse bibendum


#10

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 december 2017 - 14:10

De SRT is een natuurkundige theorie gestoeld op 2 postulaten. Impulsbehoud is voor de afleiding van de lorentztransformaties binnen het raamwerk van de SRT niet nodig. De populaire, en ook minder populaire, werken, hebben het bij het rechte eind.


Als de SRT zou eindigen met de lorentztransformatie zou dat zo zijn. Maar dat is niet zo.
 

Voor de beschrijving van mechanica binnen dit raamwerk is de aanname dat impulsbehoud ook in de relativistische limiet geldt inderdaad (uiteraard) wél nodig. Maar dat is ongeveer net zo spannend als dat men voor de afleiding van E=mc2 moet aannemen dat de wet van behoud van energie geldig is. Het is geen postulaat dat speciaal voor de SRT moet worden opgesteld, het is er een die onder de gehele natuurkunde een fundament vormt en die dus ook geacht wordt geldig te zijn binnen de SRT.

 

Nadat door de SRT onze begrippen van ruimte en tijd grondig overhoop zijn gehaald is niets uit de oudere fysica meer vanzelfsprekend. Sommige zaken zijn overeind gebleven en andere niet. Maar wat tot welke categorie behoort was niet a priori al duidelijk.


#11

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 december 2017 - 11:04

Gevonden! In Bernard Schutz' boek A First Course in General Relativity (Second Edition) lezen we op bladzijde 43 dat de wet op het behoud van de impuls viervector de status heeft van een extra postulaat naast de bekende twee postulaten van de SRT.

Aangezien ook de klok hypothese al een extra postulaat is moeten we vaststellen dat de SRT in haar logische opbouw (helaas!) op heel wat meer berust dan de bekende twee postulaten. Dit in tegenstelling tot wat er in veel populaire teksten beweerd wordt. Aan de andere kant heeft het voor het begrip van de SRT als natuurkundige theorie ook zijn voordelen wanneer we beseffen dat een rigoureus wiskundige aanpak vanuit enkel de twee postulaten sowieso onhaalbaar is. Een wat soepeler aanpak en begripsvorming is dan gepast.

Hi,

 

ik zou het vanuit een modern oogpunt als volgt bekijken.

 

De twee postulaten leggen een bepaalde beperking op de metrische structuur van de ruimtetijd, maar leggen deze niet volledig vast. De twee postulaten van de speciale rel.theorie (SRT) gelden namelijk ook voor de rel.theorie die je toepast in de klassieke mechanica. Het enige verschil is dat de lichtsnelheid daar "oneindig groot" is. Hierdoor klappen de lichtkegels open waardoor er een absolute tijd ontstaat. Je kunt dit formeel maken door op de Poincaré groep (de groep van Lorentztransformaties en ruimtetijdtranslaties) deze limiet uit te voeren. De technische benaming hiervoor is een zgn. "Inönü-Wigner contractie" en drukt op symmetrieniveau de niet-relativistische limiet uit. Dat is een hoop jargon om te zeggen dat de symmetrieën van de speciale relativiteitstheorie en die van de Newtonse mechanica aan elkaar verbonden zijn en dat de relativiteitstheorieën van Newton/Galilei en Einstein op slechts 1 punt van elkaar verschillen: in Einsteins theorie is de lichtsnelheid eindig (en ongelijk aan nul).

 

Energie- en impulsbehoud volgen volgens Noethers stelling vanuit de translatiesymmetrieën. Omdat deze aanwezig zijn voor zowel Einsteins- als de Newtonse relativiteitstheorie zul je dus in beide gevallen energie- en impulsbehoud hebben. De uitdrukking voor de energie is echter in beide gevallen anders. Dit kun je op symmetrieniveau begrijpen aan de hand van de zgn. Casimir-operatoren.

 

Ik neem aan dat je bekend bent met klassieke mechanica, dus misschien helpt het om zo nu en dan terug te gaan hiernaar.


#12

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 december 2017 - 11:35

@ flappelap

 

Dank voor je bijdrage maar ik vrees dat die stof voor mij op dit moment nog even te hoog gegrepen is. Overigens vind ik Noethers stelling wel heel interessant, dus best mogelijk dat ik mij daar later nog eens grondig in ga verdiepen.


#13

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 december 2017 - 12:02

Ja, het is vrij technisch allemaal. Wat ik in elk geval wou overbrengen, is dat je op basis van de 2 postulaten een bepaalde groep van symmetrieën afleidt. Deze symmetrieën geven je vervolgens behouden grootheden, zoals energie, impuls en impulsmoment. Je hoeft dus deze behoudswetten niet apart te poneren. Wat ik ook hoop over te brengen is dat de rel.theorie van Einstein (vanuit modern oogpunt) niet zo gek veel verschilt van die van Galileï/Newton.


#14

Professor Puntje

    Professor Puntje


  • >1k berichten
  • 3379 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 december 2017 - 12:27

Volgens mij heb ik iets dergelijks ook wel eens ergens gezien. Als ik je goed begrijp moet je bij je afleiding dan wel in het midden laten hoe groot 1/c is, waarbij je 1/c neemt in plaats van c omdat een oneindige grote snelheid dan eenvoudig door 1/c = 0 kan worden voorgesteld.

 

Verder worden in de afleiding van de lorentztransformatie als je het helemaal precies wil doen al zekere aannamen over de ruimte en tijd gedaan. Zijn die aannamen minder vergaand dan waar die stelling van Noether op berust?


#15

flappelap

    flappelap


  • >100 berichten
  • 131 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 december 2017 - 11:21

Volgens mij heb ik iets dergelijks ook wel eens ergens gezien. Als ik je goed begrijp moet je bij je afleiding dan wel in het midden laten hoe groot 1/c is, waarbij je 1/c neemt in plaats van c omdat een oneindige grote snelheid dan eenvoudig door 1/c = 0 kan worden voorgesteld.

 

Verder worden in de afleiding van de lorentztransformatie als je het helemaal precies wil doen al zekere aannamen over de ruimte en tijd gedaan. Zijn die aannamen minder vergaand dan waar die stelling van Noether op berust?

Klopt, je gebruikt 1/c dan als een exansieparameter. Je zou zo de Lorentztransformaties kunnen ontwikkelen in een Taylorreeks met 1/c als de expansieparameter.

 

Ik begrijp je vraag niet helemaal, maar een poging tot antwoord: de stelling van Noether geldt algemeen voor continue symmetrieën, dus zeker niet alleen voor Lorentztransformaties. Ze geldt ook voor de Galileï-symmetrieën van Newtons mechanica of de algemene coördinatentransformaties van de alg.rel.theorie.

 

Het grote nut van Noether is dat tegenwoordig de symmetrieën vaak als uitgangspunt worden genomen. Deze symmetrieën beperken dan de vorm van de bewegingsvergelijkingen (of actie) die je kunt opschrijven en Noether vertelt je vervolgens wat behouden is. Vanuit modern oogpunt is zo bijvoorbeeld Newtons 3e wet uit de klassieke mechanica overbodig, want ze volgt al uit de symmetrieën van de ruimtetijd.


 

Vertrouwd is een groot woord, maar ik begrijp inmiddels wat voor "dingen" het zijn. Dat was voor mij vroeger een groot obstakel omdat ik een hekel heb aan de formalistische opvatting van wiskunde als een betekenisloos spel. De wiskundige definitie van tensoren begrijp ik inmiddels, dat wil zeggen de versie van tensoren als multilineaire afbeeldingen van het cartesische product VxVxVx...xVxV*xV*xV*...xV* (bestaande uit p keer de vectorruimte V en q keer de daaraan duale vectorruimte V*) in R.

Ik herken dat wel een beetje. Wat denk ik belangrijk is om te onthouden, is dat de manier waarop tensoren transformeren geen definitie is maar een gevolg van deze formele definitie als "multilineaire afbeelding". Deze formele definitie is belangrijk, omdat tensoren objecten zijn die onafhankelijk bestaan van een gekozen coördinatensysteem. Ze malen er dus niet om wat voor coördinaten je gebruikt, en dan wordt relativiteit (waarin coördinantentransformaties opgevat worden als een verandering van waarnemer) opeens al heel wat natuurlijker.

 

Soms worden tensoren gedefiniëerd aan de hand van hun transformatie-eigenschappen, maar dan lijkt het net alsof een tensor alleen bestaat uit een setje componenten die zus en zo transformeren. Daaronder ligt dus een meetkundig object dat invariant blijft onder een coördinantentransformatie.






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures