Inverse Laplacetransformatie

ukster

: Inverse LaplaceTransformatie.jpg (103.54 KiB) 513 keer bekeken

: RLC schakeling.jpg (20.84 KiB) 509 keer bekeken

EvilBro

Eerst H(jw) opstellen (van de spanningsdeler):

\(H(j \omega) = \frac{\frac{1}{j \omega C}}{R + j \omega L + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{j \omega R C + (j \omega)^2 L C + 1} = \frac{1}{(j \omega)^2 L C + j \omega R C + 1}\)

Fourier is simpelgezegd Laplace met:

\(s = 0 + j \omega\)

Dus Laplace van de schakeling is:

\(H(s) = \frac{1}{L C s^2 + R C s + 1}\)

Als je de waarden voor de componenten invult dan zie je dat dit de gegeven functie is.

\(H(s) = \frac{1}{L C} \frac{1}{s^2 + \frac{R}{L} s + \frac{1}{L C}} = \frac{1}{L C} \frac{1}{s^2 + 2 \frac{R}{2 L} s + \frac{R^2}{4 L^2} - \frac{R^2}{4 L^2}+ \frac{1}{L C}}\)

\(H(s) = \frac{1}{L C} \frac{1}{(s + \frac{R}{2 L})^2 + (\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C})} = \frac{1}{(L C) \sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}}} \frac{\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}}}{(s + \frac{R}{2 L})^2 + (\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C})} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4 L C - R^2 C^2}{4}}} \frac{\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}}}{(s - (-\frac{R}{2 L}))^2 + (\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C}})^2}\)

Dit is in een Laplace-transform tabel te vinden:

\(\frac{b}{(s - a)^2 + b^2} \leftrightarrow e^{a t} \sin(b t)\)

\(h(t) = \frac{1}{\sqrt{\frac{4 L C - R^2 C^2}{4}}} e^{-\frac{R}{2 L} t} \sin(\sqrt{\frac{4 L - R^2 C}{4 L^2 C} t)\)

Hier moet je dan de convolutie mee doen met de stapfunctie.

Of dit nu eenvoudiger is dan de differentiaalvergelijking oplossen, weet ik niet...
Misschien is het ook wel mogelijk om de stapfunctie in het Laplace-domijn te doen (= vermenigvuldigen met 1/s), maar ik zie dan niet direct een makkelijke manier om bij y(t) te komen.

Standaard disclaimer: bij het gegoochel met dit soort formules zou ik niet uitsluiten dat ik ergens een foutje heb gemaakt. Je bent gewaarschuwd.

ukster

: LCR kring.jpg (63.74 KiB) 508 keer bekeken

y(t) bepalen vanuit de differentiaalvergelijking is mij inmiddels helemaal duidelijk.
maar de inverse laplacetransformatie lijkt niet echt eenvoudiger. Convolutie en zo is voor mij nog een stap ver..
Ik zie trouwens dat je overgaat naar de standaardvorm voor F(s) om bij y(t) te komen.
www.hhofstede.nl/modules/Laplaceinverse.htm

: Breuksplitsen.jpg (64.97 KiB) 508 keer bekeken

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inverse Laplacetransformatie

Inverse Laplacetransformatie

Re: Inverse Laplacetransformatie

Re: Inverse Laplacetransformatie