[wiskunde] stelling van green- grenzen dubbel integraal

katrien van den boss

Hallo,

Bij volgende oefening is het de bedoeling dat we de stelling van green toepassen.

Echter had ik nog een vraagjebij de grenzen:
Waarom als we bv het 1ste voorbeeld geven is de grens van y = (vkv(-x)) -> y (-x) en waarom is dit bv niet omgekeerd?

alvast bedankt!

Groetjes Katrien

TD

Omdat het integratiegebied (dat je gearceerd hebt) precies de punten zijn die voldoen aan:

\(-\sqrt{x} \le y \le -x\)

voor x-waarden tussen 0 en 1.

Anders gezegd: in dat gebied liggen alle punten boven de kromme y = -sqrt(x), dat is dus de ondergrens, en onder de kromme y = -x, dat is dus de bovengrens; daaruit volgt de volgorde van de grenzen.

TD

Goede oefening: stel de grenzen op als je de andere volgorde kiest; dus vaste, buitenste grenzen voor y en dan variabele grenzen voor x.

katrien van den boss

Hallo,

Ik denk dat ik het begrepen heb..

Klopt mijn uitwerking voor de andere grenzen?
En hoe zit het dan juist met die buitenste grenzen?

Alvast bedankt!

TD

De binnenste grenzen (voor x) kloppen, omdat in de x-richting de parabool 'onder' ligt en de rechte 'boven', vandaar van y² tot -y.

Maar waarom zou je voor y integreren van 0 tot -1? De ondergrens is -1, daar begint het integratiegebied (in de y-richting) en het eindigt in 0, de bovengrens.

katrien van den boss

Maar wat gebeurt er dan als je het omgekeerde neemt?
Je kan toch ook denken dat je integreert van 0 -> -1?

Of kan je als er getallen staan er het best vanuit gaat dat je van de kleinste waarde naar de grootste waarde integreert?

EvilBro

Waarom als we bv het 1ste voorbeeld geven is de grens van y = (vkv(-x)) -> y (-x) en waarom is dit bv niet omgekeerd?

Ik vind "Waarom" in deze een lastige vraag. Het gaat mijn inziens om referentierichtingen. Als je de oppervlakte-integraal in de richting neemt van klein naar groot in zowel de x- als de y-richting EN je neemt de integraal over de contour tegen de wijzers van de klok in dan geldt de stelling van Green. Je kunt van deze drie voorwaarden (wat positief is voor x, wat positief is voor y en welke kant je de contour omloopt) er paarsgewijs 2 omdraaien en dan blijft de stelling gelden. Als je echter 1 richting omdraait dan zal je er een minteken naast zitten.
Aangezien ik graag wil dat de stelling werkt, zal ik me dus moeten houden aan deze referentierichtingen.

Misschien helpt het om te bedenken dat geldt:

\(\int_a^b f(z) dz = -\int_b^a f(z) dz\)

TD

katrien van den boss schreef:Je kan toch ook denken dat je integreert van 0 -> -1?

Je kan dat denken, maar dat is niet hoe het werkt. Je integreert een functie over een interval [a,b] en dan is a ≤ b. Alle punten in het integratiegebied hebben y-coördinaten die voldoen aan -1 ≤ y ≤ 0 en je integreert van de ondergrens naar de bovengrens. Je kan niet zeggen dat de y-waarden voldoen aan 0 ≤ y ≤ -1 want dat zou impliceren dat 0 ≤ -1. Hetzelfde geldt trouwens voor de binnenste grenzen in jouw voorbeeld, daar integreer je ook van de onderste functie naar de bovenste functie en niet omgekeerd.

Er is wel een afspraak, waar EvilBro naar verwijst, waarbij de integraal op een zinvolle manier uitgebreid kan worden en het wisselen van de integratiegrenzen mogelijk maakt; per definitie komt er dan een minteken bij.

katrien van den boss

Oké hartelijk bedankt alle2

Groeten Katrien

EvilBro

... en je integreert van de ondergrens naar de bovengrens.

Mijn inziens is dit gewoon de afspraak. Er zou niets op tegen zijn om het andersom af te spreken (raad ik niet aan, want we hebben al een afspraak). Of is er een fundamentele eigenschap die dan misgaat?

per definitie komt er dan een minteken bij.

Ik zie niet in waarom dit extra gedefinieerd moet worden. Neem de Riemannse integraal:

\(\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{k = 0}^{N - 1} f\left(a + \left(k \cdot \frac{b - a}{N}\right)\right) \cdot \frac{b - a}{N} = \int_a^b f(x) dx\)

Deze definitie werkt voor alle combinaties van a en b. Hieruit volgt ook direct dat:

\(\int_a^b f(x) dx = -\int_b^a f(x) dx\)

Waarom is een extra definitie noodzakelijk?

TD

EvilBro schreef: Ik zie niet in waarom dit extra gedefinieerd moet worden. Neem de Riemannse integraal:

\(\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{k = 0}^{N - 1} f\left(a + \left(k \cdot \frac{b - a}{N}\right)\right) \cdot \frac{b - a}{N} = \int_a^b f(x) dx\)
Deze definitie werkt voor alle combinaties van a en b.

Maar dit is niet de (formele) definitie van de Riemann-integraal. Als de Riemann-integraal van deze functie bestaat, is dit (linkerlid) wel een manier om die uit te rekenen.

De details neem ik hier niet over, maar het gaat in elk geval over een functie op een interval [a,b] met a < b waarbij dat interval dan verdeeld wordt in deelintervallen. Dat mag overigens veel algemener dan gelijke delen; het komt er ruwweg op neer dat de functie (Riemann)integreerbaar is als de (Riemann)sommen die horen bij steeds fijnere partities en bij een bepaalde selectie van punten in die deelintervallen, willekeurig dicht bij een bepaald getal komen. Als dat zo is, is dat getal (per definitie) de Riemannintegraal en het volgende is louter notatie voor dat getal:

\(\int_a^b f(x)\,\mbox{d}x\)

Maar die notatie is dus, volgens de strikte definitie, enkel zinvol voor a < b. Als je betekenis wil geven aan bovenstaande notatie in de twee andere gevallen (a = b en a > b), dan moet je die nog definiëren. Op basis van de definitie van de (Riemann)integraal kan wel volgende eigenschap aangetoond worden voor a < c < b:

\(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)

en als je wil dat die behouden blijft in de twee 'nieuwe' gevallen, dan zijn alleen volgende keuzes zinvol:

\(\int_a^a f(x)\,\mbox{d}x=0\)

en

\(\int_b^a f(x)\,\mbox{d}x=-\int_a^b f(x)\,\mbox{d}x\)

EvilBro

Dat het niet de formele definitie was van de Riemann-integraal, dat wist ik al. Ik dacht echter dat ie wel equivalent genoeg zou zijn. De officiele definitie gaat echter via een "partition of the interval". Hierin zit 'verborgen' dat de punten in die partition van klein naar groot gaan. Dit lijkt overigens strikt arbitrair. Als de getallen van groot naar klein zouden gaan dan werken alle vervolgdefinities ook nog steeds prima (mijn inziens). Het probleem is wel dat je dan steeds moet aangeven dat alles wel op dezelfde manier geordend is. Je krijgt dan de 'nieuwe' gevallen er wel bij. Het constant specificeren van "een richting" lijkt mij irritant. Het lijkt mij dan toch eenvoudiger om de boel via 1 ordening te definieren (zoals dat dus ook nu gebeurt).

Ik vraag me overigens nog wel af of bij de stelling van Green er al niet gewerkt wordt met de 'nieuwe' gevallen. Als dat namelijk zo zou zijn dan lijkt mij het "je doet alsof 0<-1"-argument minder relevant. Mijn vraag is dan ook: Wordt bij de stelling van Green al gebruik gemaakt van de 'nieuwe' gevallen?

TD

Definities zijn altijd keuzes en die zijn dus in zekere zin ook altijd arbitrair, maar de ene keuze is al handiger en/of logischer dan de andere

.

Het feit dat we die twee afspraken zó maken is dus wel een logische keuze en men maakt die ook steeds omdat die later (inderdaad) veelvuldig gebruikt worden. Mijn opmerking ging er alleen over dat ze strikt genomen niet volgen uit de definitie van de Riemann-integraal, maar dat ze als bijkomende definities worden toegevoegd. De keuzes liggen wel voor de hand, precies omdat we deze eigenschap willen behouden (en veralgemenen voor willekeurige getallen a,b,c):

\(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)

Je kan het van ver vergelijken met zaken zoals de definitie 0! = 1, die strikt genomen niet volgt uit n! = n*(n-1)*...2*1, maar die deze definitie logisch uitbreidt zodat andere eigenschappen behouden blijven.

De integraal zelf heeft trouwens helemaal geen last van 'richting'. De notatie

\(\int_a^bf\)

is dan ook wat verwarrend; je integreert een functie over een interval en in dat opzicht is een notatie zoals

\(\int_{[a,b]}f\)

eigenlijk logischer. Ook in de stelling van Green stelt dat probleem zich niet (onmiddellijk): het ene lid is immers een dubbelintegraal over een gebied en het andere lid is een lijnintegraal waarbij de kromme in een bepaalde zin doorlopen moet worden. Het is pas door een parametrisatie van dat pad te kiezen, dat je er een (gewone) Riemann-integraal van maakt. Je moet er natuurlijk wel voor zorgen dat de doorloopzin van het pad gerespecteerd wordt. De integraal is er dan opnieuw een over een interval, namelijk het interval dat de parameter moet doorlopen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] stelling van green- grenzen dubbel integraal

stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal

Re: stelling van green- grenzen dubbel integraal