hermitische operatoren

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 257

hermitische operatoren

Beste,
 
Bij een oefening had ik een vraag bij de roze pijl die ik in bijlage heb getekend.

wanneer we partiële integratie dan gaan toepassen hier is de positie van de de functie g van belang aangezien wanneer zij vooraan wordt geplaatst haar hermetisch toegevoegde moet worden genomen? of denk ik dit verkeerd?
 
Alvast bedankt!
 
Mvg
Katrien
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-16 om 18.13.53.png
Schermafbeelding 2018-01-16 om 18.13.53.png (1.13 MiB) 1322 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

Ik vind het wat lastig om je nota's te volgen, maar ik zie geen probleem: daar staat volgens mij een gewoon product en dat is commutatief, je mag die g ook elders plaatsen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

Beste TD,
 
Ik kan het misschien beter tonen op onderstaande foto.
Ik dacht dat wat er vooraan in de integraal stond we het hermetisch toegevoegde van moesten nemen zoals met die h/i wanneer die in de 4de laatste stap naar de 3de laatste stap naar binnen wordt gebracht.
 
Maar bij de functie g(x) wanneer deze verwisseld van plaats (4de laatste stap -> 3de laatste stap) komt hier géén * boven? (Ziet u nu beter waar mijn probleem zich bevind?)
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-16 om 19.38.11.png
Schermafbeelding 2018-01-16 om 19.38.11.png (634.14 KiB) 1321 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

katrien van den boss schreef:Ik dacht dat wat er vooraan in de integraal stond we het hermetisch toegevoegde van moesten nemen
 

Nee; je moet niet hermitisch toevoegen omdat iets "vooraan in de integraal" staat :shock:, je moet f hermitisch toevoegen omdat dat de definitie is van:

 
\(\langle f|g \rangle=\int f^*g\)
 

De integrand is gewoon het product van f* en g, die factoren mag je van plaats verwisselen en dan staat er g f*...

 
katrien van den boss schreef:zoals met die h/i wanneer die in de 4de laatste stap naar de 3de laatste stap naar binnen wordt gebracht.
 

Ook daar verschijnt geen * gewoon omdat de factor "vooraan in de integraal staat", maar omdat geldt (merk op dat het minteken verdwijnt):
 
\(-\frac{\hbar}{i}=\left(\frac{\hbar}{i}\right)^*\)
 
Die factor wordt dus (in één keer) terug binnen de integraal en ook binnen de haakjes met hermitisch toevoegen gebracht.
 
katrien van den boss schreef:Maar bij de functie g(x) wanneer deze verwisselt van plaats (4de laatste stap -> 3de laatste stap) komt hier géén * boven? (Ziet u nu beter waar mijn probleem zich bevindt?)
Ja, het probleem is dat er volgens jou getoverd wordt :) met * maar je hebt dus nog niet helemaal door waar het hermitisch toevoegen vandaan komt - hopelijk nu wel? Het product blijft gewoon netjes commutatief, factoren van plaats verwisselen (zoals naar voor of naar achter brengen in de integraal) zorgt niet voor hermitisch toevoegen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

Oké die oefening heb ik idd gesnopen maar door deze uitleg zit ik nu zo vast bij een andere!
 
Mijn excuses voor mijn massale dt fouten dat is van de vermoeidheid :( .
 
Zou u mij nog enkel kunnen zeggen, nu snap ik door deze uitleg in onderstaand voorbeeld niet meer waarom als we de 2 uitdrukkingen van elkaar aftrekken dat dit tot deze termen komt.. 

(aangezien we de termen < .... /f(x) en p(x)>  wanneer deze aan dezelfde kant van een streep staan toch mogen omwisselen? 
 
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-16 om 20.59.58.png
Schermafbeelding 2018-01-16 om 20.59.58.png (880.56 KiB) 1321 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

Het feit dat je in dat verschil gewoon de tweede componenten van elkaar mag aftrekken, is een gevolg van de lineariteit in die tweede component.

 

Er geldt in het algemeen:

 
\(\langle f|c_1g+c_2h \rangle=c_1\langle f|g\rangle+c_2\langle f|h\rangle\)
 

en dus ook in het bijzonder hier:

 
\(\langle \psi_1|X\rangle-\langle\psi_1|Y\rangle=\langle \psi_1|X-Y\rangle\)
 
met X en Y de (langere) uitdrukkingen die in je voorbeeld uitgewerkt staan.

 

Als dat het probleem niet is; kan je dan iets duidelijker aangeven welke stap je niet begrijpt?

 
katrien van den boss schreef:Mijn excuses voor mijn massale dt fouten dat is van de vermoeidheid :( .
Geen probleem, het deed alleen een beetje pijn aan de ogen ;).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

Ja dat kan ik best verstaan :o
 
Ja neen idd het probleem zit hem denk ik anders waarom kunnen we dan gewoon niet alles van deze termen bij elkaar optellen ik dacht dat we deze termen (zie pijl erboven) met elkaar konden verwisselen? (aangezien ze na de / staan)
 
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-16 om 21.32.53.png
Schermafbeelding 2018-01-16 om 21.32.53.png (418.71 KiB) 1321 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

Je hebt de context niet meegeven, maar ik veronderstel dat die p_x een operator is en die operator toepassen op f(x) is natuurlijk iets anders dan twee functies met elkaar vermenigvuldigen...
 
Wellicht is:
 
\(\hat{p} = - i \hbar \frac{\partial}{\partial x}\)
 
en dus is:
 
\(\hat{p}f(x) = - i \hbar \frac{\partial f(x)}{\partial x}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

maar als ik dit doe dan kom ik uit op (2alfa)*(.....)
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-16 om 21.46.54.png
Schermafbeelding 2018-01-16 om 21.46.54.png (820.16 KiB) 1321 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

Waarom dat extra minteken bij die laatste alpha, als je die min al buiten de haakjes hebt...?
 
Maar zie intussen mijn aangepast bericht hierboven; als p is wat ik denk dat p is, dan heb je daar de verklaring waarom je die volgorde niet zomaar mag wisselen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

Aah oké ja nu zie ik het in..

Want idd het product van een operator is niet commutatief vandaar dat we de volgorde moeten laten staan!
 
Alvast hartelijk bedankt voor alle uitleg!! :)
 
Mijn excuses dat ik idd de context vergeten was!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

Oké, graag gedaan & succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

Bedankt!
Ik heb eigenlijk nog 1 vraag.. (dit is echt de laatste)

Bij onderstaande oefening is het de bedoeling de operator te kijken of deze hermetisch is..
Echter snap ik de 1ste stap niet.. (vanaf dat de derde stap is snap ik alles van de partiële integratie enzo)
maar ik snap de omzetting van 1 niet...
 
Bijlagen
Schermafbeelding 2018-01-16 om 22.12.33.png
Schermafbeelding 2018-01-16 om 22.12.33.png (765.51 KiB) 1321 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: hermitische operatoren

Ik ook niet, volgens mij is dat fout. Of ik begrijp de opgave niet goed...
 
\(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left((1-x^2)\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\right)\)
 
Productregel:
 
\((1-x^2)\left(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\right)+\left(\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}(1-x^2)\right)\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\)
 
Dus:
 
\((1-x^2)\frac{\mbox{d}^2}{\mbox{d}x^2}-2x\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 257

Re: hermitische operatoren

Oké oef dan ben ik juist..

Het is hier dus duidelijk wel de productregel voor afgeleiden op toepassen en dan via partiële integratie bewijzen dat de operator hermetisch is?

Reageer