Springen naar inhoud

limiet van (nXn)neN



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:08

In de les kregen we deze oefening en ik zit er mee vast.

Je weet dat de limiet van een rij Xn a is ( met a > 0 )

Gevraagd: Bewijs je vermoeden over de limiet voor n -> oneindig van de rij (nXn)neN?

 

hoe moet dit?

Alvast bedankt


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:29

Gevraagd: Bewijs je vermoeden over de limiet voor n -> oneindig van de rij (nXn)neN?

 

Voor de duidelijkheid even in symbolen: je zoekt deze limiet gegeven dat xn naar een strikt positief getal a convergeert?

 

LaTeX

 

Heb je een vermoeden?

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:30

 

Voor de duidelijkheid even in symbolen: je zoekt deze limiet gegeven dat xn naar een strikt positief getal a convergeert?

 

LaTeX

 

Heb je een vermoeden?

Ik vermoed dat deze limiet naar + oneindig zal gaan?

Veranderd door Iwiskunde, 17 januari 2018 - 18:39


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:38

Inderdaad (maar hoezo "ook"? de oorspronkelijke rij niet...).

 

Als je dat formeel moet bewijzen, moet je (natuurlijk) teruggrijpen naar de definities, zowel van convergentie van xn naar a>0 als van n*xn naar oneindig.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:42

Inderdaad (maar hoezo "ook"? de oorspronkelijke rij niet...).

 

Als je dat formeel moet bewijzen, moet je (natuurlijk) teruggrijpen naar de definities, zowel van convergentie van xn naar a>0 als van n*xn naar oneindig.

ik zou het formeel willen bewijzen mbv de definitie van limiet.

 

Nu weten we dat voor alle epsilon >0, er een n1 bestaat zodat voor alle n > n1 geldt dat |xn - a|< epsilon en we willen aantonen dat voor alle M e R er een n0 bestaat zodat voor alle n > n0 geldt dat x*xn>M.

 

We zullen het gegeven ( xn-a<epsilon voor n>n1 sowieso nodig hebben maar ik weet alleen niet hoe?


#6

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 2278 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:44

Ik zou het zo aanpakken:

 

van af een zeker n geldt:

 

LaTeX

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:52

Nu weten we dat voor alle epsilon >0, er een n1 bestaat zodat voor alle n > n1 geldt dat |xn - a|< epsilon

 
Klopt. Aangezien a > 0 kan je bijvoorbeeld epsilon = a/2 kiezen; deze definitie garandeert dan het bestaan van een n1 zodat voor alle n>n1 geldt:
 
LaTeX

 
Wat je hieruit vooral onthoudt is dat je vanaf een zekere grensindex n1 weet dat xn > a/2.
 

en we willen aantonen dat voor alle M e R er een n0 bestaat zodat voor alle n > n0 geldt dat x*xn>M.
 
We zullen het gegeven ( xn-a<epsilon voor n>n1 sowieso nodig hebben maar ik weet alleen niet hoe?

 

Die rode x is waarschijnlijk een typefout. Je moet inderdaad voor eender welke M een n0 vinden zodat voor n>n0 geldt dat:

 

LaTeX

 

Maar als je die index minstens voorbij n1 kiest, kan je xn  afschatten. Kan je verder?

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:57

 
Klopt. Aangezien a > 0 kan je bijvoorbeeld epsilon = a/2 kiezen; deze definitie garandeert dan het bestaan van een n1 zodat voor alle n>n1 geldt:
 
LaTeX

 
Wat je hieruit vooral onthoudt is dat je vanaf een zekere grensindex n1 weet dat xn > a/2.
 

 

Die rode x is waarschijnlijk een typefout. Je moet inderdaad voor eender welke M een n0 vinden zodat voor n>n0 geldt dat:

 

LaTeX

 

Maar als je die index minstens voorbij n1 kiest, kan je xn  afschatten. Kan je verder?

Je vindt dan het volgende:

 

voor n0> n1 geldt dat:

 

n*Xn < n* ( a/2 ) = an/2. Hoe toon je dan aan dat dit kleiner is dan M, want je zit nog steeds met een term n ?


#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2018 - 18:59

Je moet n0 nog kiezen/bepalen.

 

Neem M > 0 willekeurig maar vast. Voor alle n > n1 heb je nu inderdaad dat n*xn > n*a/2. Maar je wil dat dit groter is dan M, dus je wil n*a/2 > M. Hieraan is misschien niet voldaan voor elke n, maar wel als je n groter dan wat kiest...? Zo vind je een geschikte n0.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures