Springen naar inhoud

continu´teit



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2018 - 11:31

Beste,

 

Ik heb een functie gegeven f: R² -> R en een punt (x1,x2). Vervolgens worden volgende functies ingevoerd:

f1(x) = f(x,x2)

f2(y) = f(x1,y) 

 

Als je weet dat de functie f continu is in (x1,x2), hoe kan je dan aantonen dat f1 continu is in x1 en f2 continu is in x2?

 

En eventueel ook omgekeerd? als je weet dat f1 en f2 continu zijn in respectievelijk x1 en x2. Kunnen we dan uit besluiten over de continuiteit van f in (x1,x2)?

 

Alvast bedankt voor jullie hulp!

 


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2018 - 11:37

Als je weet dat de functie f continu is in (x1,x2), hoe kan je dan aantonen dat f1 continu is in x1 en f2 continu is in x2?

 

Waar het altijd mee begint: de definities (van zowel de continuïteit van f in twee variabelen, als van de fi's in één variabele).

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2018 - 11:39

 

Waar het altijd mee begint: de definities (van zowel de continuïteit van f in twee variabelen, als van de fi's in één variabele).

Ja daar had ik wat mee zitten proberen, maar hier zijn de fi​'s toch niet de componentfuncties? f is immers een functie van R² -> R


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2018 - 11:42

Ja daar had ik wat mee zitten proberen, maar hier zijn de fi​'s toch niet de componentfuncties? f is immers een functie van R² -> R

 

Die f is inderdaad R²->R, maar f1 en f2 zijn R->R (resp. de tweede en eerste component in f worden daar constant genomen).

 

 

En eventueel ook omgekeerd? als je weet dat f1 en f2 continu zijn in respectievelijk x1 en x2. Kunnen we dan uit besluiten over de continuiteit van f in (x1,x2)?

 

Wat denk je zelf? Probeer het je eventueel grafisch voor te stellen.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2018 - 11:48

 

Die f is inderdaad R²->R, maar f1 en f2 zijn R->R (resp. de tweede en eerste component in f worden daar constant genomen).

 

 

 

Wat denk je zelf? Probeer het je eventueel grafisch voor te stellen.

Ik weet het niet. Wat is het verband tussen de continuïteit van f1, f2 en f?


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2018 - 13:34

Continuïteit van een functie in twee variabelen is een sterkere eigenschap dan continuïteit in de variabelen apart; het volstaat dus niet dat f(*,y) en f(x,*) continu zijn in hun respectievelijke variabelen om te besluiten dat f(x,y) continu is. Omgekeerd wel, maar dat aantonen is ook een deel van je opdracht (en kan op basis van de definities).

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Iwiskunde

    Iwiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2018 - 13:42

Continuïteit van een functie in twee variabelen is een sterkere eigenschap dan continuïteit in de variabelen apart; het volstaat dus niet dat f(*,y) en f(x,*) continu zijn in hun respectievelijke variabelen om te besluiten dat f(x,y) continu is. Omgekeerd wel, maar dat aantonen is ook een deel van je opdracht (en kan op basis van de definities).

 

Hierbij mijn poging:

 

 

Je weet dat f continu is in (x1,x2). Dit wil zeggen dat voor alle koppels van rijen (Xk, Yk) die naar (X1,X2) convergeren geldt dat f(Xk,Yk)=f(X1,X2) (= Definitie van de continuïteit ) Nu willen we aantonen dat f1 en f2 continu zijn in respectievelijk x1 en x2.

Om aan te tonen dat f1 continu is in x1 moeten we aantonen dat voor elke rij Xk die naar X1 convergeert geldt dat f(Xk)=f(X1). Aangezien we weten dat f(Xk,Yk)=f(X1,X2), kunnen we concluderen dat voor een willekeurige rij Xk die naar X1 convergeert geldt dat f(Xk)=f(X1). ( Dit is een eigenschap van rijen als ik me niet vergis. Namelijk een rij (Xk,Yk) convergeert naar (X1,X2) <=> Xk naar X1 convergeert en Yk naar X2 convergeert. )

 

​Klopt dit/zit ik in de goede richting?


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24198 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2018 - 13:59

Het idee is oké maar het is nog erg slordig.
 

Hierbij mijn poging:
 
 
Je weet dat f continu is in (x1,x2). Dit wil zeggen dat voor alle koppels van rijen (Xk, Yk) die naar (X1,X2) convergeren geldt dat f(Xk,Yk)=f(X1,X2) (= Definitie van de continuïteit ) Nu willen we aantonen dat f1 en f2 continu zijn in respectievelijk x1 en x2.

 
Het gedeelte in het rood klopt natuurlijk niet, hier hoort een limiet te staan; of je moet zeggen dat f(xk,yk) convergeert naar f(x1,x2).
 

Om aan te tonen dat f1 continu is in x1 moeten we aantonen dat voor elke rij Xk die naar X1 convergeert geldt dat f(Xk)=f(X1). Aangezien we weten dat f(Xk,Yk)=f(X1,X2), kunnen we concluderen dat voor een willekeurige rij Xk die naar X1 convergeert geldt dat f(Xk)=f(X1). ( Dit is een eigenschap van rijen als ik me niet vergis. Namelijk een rij (Xk,Yk) convergeert naar (X1,X2) <=> Xk naar X1 convergeert en Yk naar X2 convergeert. )


Als f(xk,yk) convergeert naar f(x1,x2) voor eender welke rij (xk,yk) die naar (x1,x2) convergeert, bekijk dan de rijen van de vorm (xk,x2). De beelden hiervan convergeren volgens voorgaande naar f(x1,x2), dus f1(x,x2) is convergent; analoog voor f2.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures