Gegeven het LTI systeem:
\(\left\{\begin{matrix} x(k+1) &=& A x(k) \\ y(k) &=& C x(k) \end{matrix}\right.\)
met
\(\begin{matrix} x &\in& \mathcal{R}^n \\ y &\in& \mathcal{R}^q \\ A &\in& \mathcal{R}^{n\times n} \\ C &\in& \mathcal{R}^{q\times n}\)
De
observability matrix \(N_t \in \mathcal{R}^{qn\times n}\)
is dan gedifinieerd als:
\(N_t = \left(\begin{matrix}C\\CA\\CA^2\\ \vdots\\CA^{t-1}}\end{matrix}\right)\)
De
observability matrix of horizon t,
\(Q(t) \in \mathcal{R}^{n\times n}\)
is dan:
\(Q(t) = N_t^T N_t = \sum\limits_{k=0}^{t-1} \left(A^T\right)^k C^T C A^k\)
Volgens mij geldt dan ook:
\(Q(t + 1) = \sum\limits_{k=0}^{t} \left(A^T\right)^k C^T C A^k = Q(t) + \left(A^T\right)^t C^T C A^t\)
Mijn prof zegt echter:
\(Q(t + 1) = A^T Q(t)A + C^T C\)
met
\(Q(1) = C^T C\)
.
Dit laatste is triviaal, maar ik kan niet volgen hoe ze aan Q(t+1) komen. Ook hoe ze in de definitie van
\(N_t^T N_t\)
aan die som komen is me niet helemaal duidelijk.
Iemand een idee?