Recursiviteit van de observability gramian

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 703

Recursiviteit van de observability gramian

Gegeven het LTI systeem:
\(\left\{\begin{matrix} x(k+1) &=& A x(k) \\ y(k) &=& C x(k) \end{matrix}\right.\)
met
\(\begin{matrix} x &\in& \mathcal{R}^n \\ y &\in& \mathcal{R}^q \\ A &\in& \mathcal{R}^{n\times n} \\ C &\in& \mathcal{R}^{q\times n}\)
De observability matrix
\(N_t \in \mathcal{R}^{qn\times n}\)
is dan gedifinieerd als:
\(N_t = \left(\begin{matrix}C\\CA\\CA^2\\ \vdots\\CA^{t-1}}\end{matrix}\right)\)
De observability matrix of horizon t,
\(Q(t) \in \mathcal{R}^{n\times n}\)
is dan:
\(Q(t) = N_t^T N_t = \sum\limits_{k=0}^{t-1} \left(A^T\right)^k C^T C A^k\)
Volgens mij geldt dan ook:
\(Q(t + 1) = \sum\limits_{k=0}^{t} \left(A^T\right)^k C^T C A^k = Q(t) + \left(A^T\right)^t C^T C A^t\)
Mijn prof zegt echter:
\(Q(t + 1) = A^T Q(t)A + C^T C\)
met
\(Q(1) = C^T C\)
.

Dit laatste is triviaal, maar ik kan niet volgen hoe ze aan Q(t+1) komen. Ook hoe ze in de definitie van
\(N_t^T N_t\)
aan die som komen is me niet helemaal duidelijk.

Iemand een idee?

Berichten: 7.068

Re: Recursiviteit van de observability gramian

Kun je hier iets mee?
\(Q(t + 1) = \sum\limits_{k=0}^{t} \left(A^T\right)^k C^T C A^k\)
\(= \left(A^T\right)^0 C^T C A^0 + \sum\limits_{k=1}^{t} \left(A^T\right)^k C^T C A^k\)
\(= \left(A^T\right)^0 C^T C A^0 + \sum\limits_{m=0}^{t-1} \left(A^T\right)^{m+1} C^T C A^{m+1}\)
\(= \left(A^T\right)^0 C^T C A^0 + \sum\limits_{m=0}^{t-1} A^T \left(A^T\right)^{m} C^T C A^{m} A\)
\(= \left(A^T\right)^0 C^T C A^0 + A^T \left(\sum\limits_{m=0}^{t-1} \left(A^T\right)^{m} C^T C A^{m} \right) A\)
\(= \left(A^T\right)^0 C^T C A^0 + A^T Q(t) A\)

Berichten: 703

Re: Recursiviteit van de observability gramian

Yes, dat maakt een hoop duidelijk.

Ik denk dat ik het intussen snap. Als:
\(N = \left( \begin{matrix}A \\ B \\ C\end{matrix}\right)\)
dan is
\(N^T = \left( A^T B^T C^T \right)\)
en dus:
\(N^T N = A^T A + B^T B + C^T C\)
Zo komen ze dus aan die som.

Reageer