Springen naar inhoud

DifferentiaalquotiŽnt berekenen



  • Log in om te kunnen reageren

#16

Oplosser

    Oplosser


  • >100 berichten
  • 173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 februari 2018 - 15:34

Men zoekt de richtingscoëfficiënt of te wel de hellingshoek.

 

 

Dit is Δy / Δx

 

 

Stel je hebt de functie: y = 2 x

 

 

Wat is dan de hellingshoek? En hoe bepaal je die?


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#17

eetje020

    eetje020


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2018 - 15:40

Men zoekt de richtingscoëfficiënt of te wel de hellingshoek.

 

 

Dit is Δy / Δx

 

 

Stel je hebt de functie: y = 2 x

 

 

Wat is dan de hellingshoek? En hoe bepaal je die?

Hellingshoek=Δy / Δx

Δy = y

Δx = 2 x

Hellingshoek=y / 2x


#18

Oplosser

    Oplosser


  • >100 berichten
  • 173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 februari 2018 - 17:53

Hellingshoek bepalen in punt x = 1.

 

 

 

Als je de grafiek y = 2 * x tekent kan je bijvoorbeeld 2 punten op deze grafiek nemen:

 

 

Punt 1: bijvoorbeeld: x​1 = 2 =>  y​1 = 2 * x​1 = 2 * 2 = 4 nemen. 

Punt 2: bijvoorbeeld: x​2 = 1 => y​2 = 2 * x2​ = 2 * 1 = 2 nemen.

 

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx

 

Δy = y1 - y2​ = 4 - 2 = 2

Δx = x1 - x2​ = 2 - 1 = 1 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 2 / 1 = 2.

Dit is bij een rechte lijn goed te zien en het klopt ook met als je de functie y = 2 * x differentieert. (2 * x) dy/dx = 2.

 

 

 

Stapgrootte Δx = 1

 

Nu gaan we naar een functie van de 2-de graad: bijvoorbeeld: y = x2​ Teken deze voor het beeld.

 

Nu kan je weer willekeurige punten nemen op deze grafiek, voor de duidelijkheid nemen we dezelfde punten als bij de grafiek y = 2 * x.

 

Punt 3: bijvoorbeeld: x​3 = 2 =>  y​3 = x​3​2 = 2​2 = 4 nemen.

Punt 4: bijvoorbeeld: x​4 = 1 => y​4 =  x42 = 1​2  = 1 nemen.

 

 

Δy = y3- y4​ = 4 - 1 = 3

Δx = x3 - x4​ = 2 - 1 = 1 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 3 / 1 = 3

 

Als je y = x​2 differentieert is dit (x​2) dy/dx = 2 * x.

​Als je de hellingshoek in bijvoorbeeld punt 4 (1,1) wilt weten is dat: y = 2 * 1 = 2 * 2 = 2. Er komt 3 uit, dus dat klopt nog niet en maken we de stapgrootte kleiner.

 

 

 

Stapgrootte Δx = 0,1

 

Punt 3: x​3 = 1,1 =>  y​3 = x​3​2 = 1,1​2 = 1,21.

Punt 4: x​4 = 1 => y​4 =  x42 = 1​2  = 1

 

Δy = y3- y4​ = 1,21 - 1 = 0,21

Δx = x3 - x4​ = 1,1 - 1 = 0,1 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 0,21 / 0,1 = 2,1. Dit lijkt al aardig op de juiste uitkomst van 2.

 

 

Als je y = x​2 differentieert is dit (x​2) dy/dx = 2 * x.

​Als je de hellingshoek in bijvoorbeeld punt 4 (1,1) wilt weten is dat: y = 2 * x = 2 * 1 = 2. Er komt 2,1, dus dat klopt bijna.

 

 

Stapgrootte Δx = 0,01

 

Punt 3: x​3 = 1,01 =>  y​3 = x​3​2 = 1,01​2 = 1,0201.

Punt 4: x​4 = 1 => y​4 =  x42 = 1​2  = 1

 

Δy = y3- y4​ = 1,0201 - 1 = 0,0201

Δx = x3 - x4​ = 1,01 - 1 = 0,01 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 0,0201 / 0,01 = 2,01. Dit is bijna de juiste uitkomst van 2.

 

 

Je ziet dat als je de stapgrootte maar klein genoeg neemt je dichter bij het exacte resultaat komt.

 

Dit heet numeriek differentiëren.

 

 

 

Heb je nu een beeld van de opgave?


#19

eetje020

    eetje020


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2018 - 17:59

 

Hellingshoek bepalen in punt x = 1.

 

 

 

Als je de grafiek y = 2 * x tekent kan je bijvoorbeeld 2 punten op deze grafiek nemen:

 

 

Punt 1: bijvoorbeeld: x​1 = 2 =>  y​1 = 2 * x​1 = 2 * 2 = 4 nemen. 

Punt 2: bijvoorbeeld: x​2 = 1 => y​2 = 2 * x2​ = 2 * 1 = 2 nemen.

 

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx

 

Δy = y1 - y2​ = 4 - 2 = 2

Δx = x1 - x2​ = 2 - 1 = 1 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 2 / 1 = 2.

Dit is bij een rechte lijn goed te zien en het klopt ook met als je de functie y = 2 * x differentieert. (2 * x) dy/dx = 2.

 

 

 

Stapgrootte Δx = 1

 

Nu gaan we naar een functie van de 2-de graad: bijvoorbeeld: y = x2​ Teken deze voor het beeld.

 

Nu kan je weer willekeurige punten nemen op deze grafiek, voor de duidelijkheid nemen we dezelfde punten als bij de grafiek y = 2 * x.

 

Punt 3: bijvoorbeeld: x​3 = 2 =>  y​3 = x​3​2 = 2​2 = 4 nemen.

Punt 4: bijvoorbeeld: x​4 = 1 => y​4 =  x42 = 1​2  = 1 nemen.

 

 

Δy = y3- y4​ = 4 - 1 = 3

Δx = x3 - x4​ = 2 - 1 = 1 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 3 / 1 = 3

 

Als je y = x​2 differentieert is dit (x​2) dy/dx = 2 * x.

​Als je de hellingshoek in bijvoorbeeld punt 4 (1,1) wilt weten is dat: y = 2 * 1 = 2 * 2 = 2. Er komt 3 uit, dus dat klopt nog niet en maken we de stapgrootte kleiner.

 

 

 

Stapgrootte Δx = 0,1

 

Punt 3: x​3 = 1,1 =>  y​3 = x​3​2 = 1,1​2 = 1,21.

Punt 4: x​4 = 1 => y​4 =  x42 = 1​2  = 1

 

Δy = y3- y4​ = 1,21 - 1 = 0,21

Δx = x3 - x4​ = 1,1 - 1 = 0,1 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 0,21 / 0,1 = 2,1. Dit lijkt al aardig op de juiste uitkomst van 2.

 

 

Als je y = x​2 differentieert is dit (x​2) dy/dx = 2 * x.

​Als je de hellingshoek in bijvoorbeeld punt 4 (1,1) wilt weten is dat: y = 2 * x = 2 * 1 = 2. Er komt 2,1, dus dat klopt bijna.

 

 

Stapgrootte Δx = 0,01

 

Punt 3: x​3 = 1,01 =>  y​3 = x​3​2 = 1,01​2 = 1,0201.

Punt 4: x​4 = 1 => y​4 =  x42 = 1​2  = 1

 

Δy = y3- y4​ = 1,0201 - 1 = 0,0201

Δx = x3 - x4​ = 1,01 - 1 = 0,01 (dit is de stapgrootte)

 

De richtingscoëfficiënt (hellingshoek) is dan: Δy / Δx = 0,0201 / 0,01 = 2,01. Dit is bijna de juiste uitkomst van 2.

 

 

Je ziet dat als je de stapgrootte maar klein genoeg neemt je dichter bij het exacte resultaat komt.

 

Dit heet numeriek differentiëren.

 

 

 

Heb je nu een beeld van de opgave?

 

Ja ik heb nu een beeld dankjewel


#20

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2894 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 februari 2018 - 18:13

Ik weet niet precies hoe ik me dit moet visualiseren.

Teken dan eens de grafiek van f(x) = ½x² en probeer aan de hand van het gevraagde quotiënt eens na te gaan wat de meetkundige betekenis van dit quotiënt precies is.

Even met betrekking tot de uitwerking van f(1+h)-f(1): merk op dat dit gelijk is aan ½(1+h)²-½ = ½[(1+h)²-1] = ½[(1+h)²-1²]. Waaraan is (1+h)²-1² gelijk, dus wat vind je voor de waarde van het gevraagde quotiënt?

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#21

Oplosser

    Oplosser


  • >100 berichten
  • 173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 februari 2018 - 18:23

Graag gedaan.

 

 

En het mooie is, dit werkt ook op de meest moeilijke uitgebreide functies die je niet gewoon kan differentiëren.

 

Nu kan je dus van alle functies in elk punt de hellingshoek benaderen.

Veranderd door Oplosser, 18 februari 2018 - 18:23


#22

eetje020

    eetje020


  • >25 berichten
  • 60 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2018 - 18:31

Oke top dankjewel







Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures