Springen naar inhoud

Gewoon enkele merkwaardigheden in een gelijkbenige driehoek


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2018 - 16:40

Stel je construeert een gelijkbenige driehoek met een basiszijde van bv 15 cm en  twee basishoeken van 79.9898431656865 graden dan is de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde  gelijk aan de gulden snede zijn (wortel(5)+1)/2.. Ik heb de basishoek op zoveel cijfers na de komma opgegeven om de gulden snede juist te krijgen bij een verwerking bv excel. Bovendien krijg je in de dergelijke driehoek naast de gulden snede nog een mooie vaststelling in die zin dat de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven cirkel en de omschreven cirkel juist gelijk is aan 2 * de straal van de ingeschreven cirkel. Deze punten zijn gelegen op de zogenaamde Euler lijn waarop ook het orthocentrum en het zogenaamde middelpunt van de driehoek is gelegen. Dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel op de Euler lijn ligt doet zich slechts voor bij een gelijkbenige of gelijkzijdige driehoek

 

Rik 


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 2293 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2018 - 16:56

Hoe had je gedacht die driehoek te construeren?

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2018 - 17:18

wetende dat die verhouding bestaat tot de gulden snede kan je gemakkelijk een opstaande zijde gaan berekenen. Daarna neem je de helft van de driehoek met twee bekende zijden zijnde helft basis en opstaande zijde plus een rechte hoek en bent er

 

 


#4

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 2293 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2018 - 18:09

Ik vroeg hoe je hem dacht te construeren.

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#5

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2018 - 08:11

Ik vroeg hoe je hem dacht te construeren.

Vertrekkende van het feit dat de deling van de wortel van de opstaande zijde en de wortel van de basiszijde gelijk is aan de gulden snede zijnde (wortel 5+1)/2 is het toch gemakkelijk om de opstaande zijde te gaan berekenen in het geval van bv een basiszijde van 15 cm komen we op 39.27050..... cm. Daarna bekijken we even de helft van de driehoek met dus een basis van 7.5 cm en schuine zijde van 39.27.... cm en een rechte hoek. Dan is de helft van de tophoek gelijk aan 

boogsin van (7.5/39.27) * sin van 90° of 11.010 graden. De basishoeken zijn gezien de gelijkvormigheid beiden gelijk aan 180° - 90° - 11.010...° of 78.98.. graden.

Voor de berekening van de afstand tussen de 2 middelpunten bestaat een mooie formule U misschien wel bekend namelijk : afstand is

1-8*sin(a/2)*sin(b/2)*sin(c/2), hiervan neemt u de wortel en daarna vermenigvuldigen met de straal van de omschreven cirkel. Wanneer U alles met voldoende cijfers na de komma verwerkt in excel dan zal u zien dat deze afstand perfect gelijk is aan 2 de straal van de ingeschreven cirkel.


#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 april 2018 - 11:30

Wanneer U alles met voldoende cijfers na de komma verwerkt in excel dan zal u zien dat deze afstand perfect gelijk is aan 2 de straal van de ingeschreven cirkel.

Dit kan niet. De representatie van Excel werkt niet met oneindige precisie, dus je kunt niet aantonen dat de afstand perfect gelijk is aan 2 (met Excel).

Veranderd door EvilBro, 18 april 2018 - 11:31


#7

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 2293 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2018 - 11:32

Nogmaals:

een constructie doe je met een ongemerkte liniaal en een passer.

 

Wat je geeft is een berekening.

 

Die trouwens niet correct is daar je de hoek waarde afrond dus klopt de rest ook niet meer precies.

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#8

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2018 - 17:00

Dit kan niet. De representatie van Excel werkt niet met oneindige precisie, dus je kunt niet aantonen dat de afstand perfect gelijk is aan 2 (met Excel).

Hierbij een bewijs van zowel de gulden snede verhouding inclusief  de afstand tussen de middelpunten die verwerkt zit in de redenering

Bijgevoegde miniaturen

  • Afbeelding 011.jpg
  • Afbeelding 012.jpg
  • Afbeelding 013.jpg

#9

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2018 - 18:49

ps de m verwijst wel degelijk naar de rand van de kleine cirkel het centroid van de driehoek ligt er ietsje buiten

 


#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 april 2018 - 13:55

... dat de afstand tussen de middelpunten van de ingeschreven cirkel en de omschreven cirkel juist gelijk is aan 2 * de straal van de ingeschreven cirkel.

Is de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek een van de twee gelijkbenige zijdes? Of iets anders?

#11

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 april 2018 - 16:25

Is de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek een van de twee gelijkbenige zijdes? Of iets anders?

klopt ac op de tekening


#12

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 april 2018 - 21:02

Stel je hebt een gelijkbenige driehoek:
driehoek.png
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
dan krijg je voor de ingeschreven cirkel:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
en voor de omschreven cirkel:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dus:
LaTeX

Als je nu jouw driehoek invoert:
LaTeX
LaTeX
Dan kom je niet uit op wat jij zegt. Zie jij of ik een rekenfout heb gemaakt?

#13

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6936 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 april 2018 - 08:04

Ik heb mijn fout gevonden. Ik had gemist dat er stond "de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde". De berekening is dus goed, maar de waarden die ik invul niet. :D

Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:
LaTeX
Hiermee wordt (met vereenvoudigen):
LaTeX
Deze afstand uitgedrukt in ingeschreven cirkelstralen wordt dan:
LaTeX

Als je nu de juiste verhouding neemt:
LaTeX
dan:
LaTeX

#14

Rik Speybrouck

    Rik Speybrouck


  • >100 berichten
  • 201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 april 2018 - 08:53

Ik heb mijn fout gevonden. Ik had gemist dat er stond "de vierkantswortel van de deling van de opstaande zijde en de basiszijde". De berekening is dus goed, maar de waarden die ik invul niet. :D

Stel we introduceren alfa als de verhouding tussen opstaande zijde en basiszijde:
LaTeX


Hiermee wordt (met vereenvoudigen):
LaTeX
Deze afstand uitgedrukt in ingeschreven cirkelstralen wordt dan:
LaTeX

Als je nu de juiste verhouding neemt:
LaTeX
dan:
LaTeX

Ik had uw berekening even uitgevoerd en ze klopt inderdaad met mijn formule die ik in het begin heb geplaatst maar werkt met driehoeksmeetkunde. Ik ben akkoord dat excel geen afdoend bewijs is voor een bewijs van de gulden snede vandaar het bewijs op de foto's waar geen enkele link is met een excel waarde, enkel dat de afstand tussen het incenter en het circumcenter gelijk is aan 2  keer de straal van de straal van de ingesloten cirkel wat resulteert  in een gulden snede tussen de zijden  






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures