[wiskunde] Differentiaal vergelijking

Bandoneon

In de les elektrotechnieken zagen we dat we onderstaande formule in een differentiaal vergelijking konden brengen:
Uo = Ui * R2/(R1+R2) (spanningsdeler)

Differentiaal vergelijking:
dUo = df/dUi*dUi+ df/dR1*dR1+ df/dR2*dR2

We kregen in de les juist deze oplossingen:
df/dUi = R2/(R1+R2)
df/dR1 = (-R2*Ui)/((R1+R2)²)
df/dR2 = (R1*Ui)/((R1+R2)²)

Zelf heb ik geprobeerd om deze oplossingen te vinden, maar ik kom steeds niet tot de juiste oplossing en zelf snap ik hier eerlijk gezegd niet zo veel van. Zou er mij iemand hierbij kunnen helpen? Alvast bedankt!

Xilvo

Het lijkt me deel uitmaken van een foutenberekening, hoe verandert U_o bij een verandering van U_i, R₁ en R₂.

Met 'f' wordt U_o bedoeld.

Kijk eens of je hier verder mee komt, zeker de eerste moet een fluitje van een cent zijn.

P.S. De term 'differentiaalvergelijking' is hiervoor niet juist.

Bandoneon

Deze oefening gaat inderdaad om een foutberekening, maar ik heb totaal geen idee hoe ik dit verder moet uitrekenen. Kunt u mij eventueel een aanzet geven tot het mogelijke antwoord? Alvast bedankt!

Xilvo

Ik neem aan dat je weet hoe een afgeleide van een functie te berekenen?

Bandoneon

De afgeleide van een functie snap ik heb hiervoor volgende formules genoteerd:

(U*V)' = U' * V + U * V'

(U/V)' = (U' * V - U * V' )/ V²

Voor de formule heb ik zelf dUo = dUi * R2/(R1+R2) + Ui * d(R2/(R1+R2))

Xilvo

De functie is U₀, waarvoor je boven de formule hebt gegeven.

Bereken de afgeleide van deze functie naar de variabele U_i. Dan moet je de eerste van de drie vergelijkingen vinden.

Bandoneon

Ik kon nu reeds al het volgende vaststellen:

dUo = dUi * R2 / (R1+R2) + Ui * (dR2 * (R1+R2) - dR1 + dR2 * R2 / (R1+R2)²)

Ik heb ook het volgende:
Uo/Ui = R2/ (R1+R2)

Als ik dan uitwerk naar dUo/dUi:
dUo/dUi = R2 / (R1+R2) + Ui * (dR2 * (R1+R2) - dR1 + dR2 * R2 / (R1+R2)²)

Xilvo

"Als ik dan uitwerk naar dUo/dUi:
dUo/dUi = R2 / (R1+R2) + Ui * (dR2 * (R1+R2) - dR1 + dR2 * R2 / (R1+R2)²)"

Nee, niet te snel. In dU_o/dU_i hoort geen 'dR₂', geen 'dR₂' thuis.

\(y=x.\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

Wat is

\(\frac{d y}{d x}\)

dan:

\(U_{o}=U_{i}.\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

Wat is

\(\frac{d U_{o}}{d U_{i}}\)

?

Bandoneon

Als ik het goed begrijp kan ik dit dus schrijven als:
dy = dx * R2/(R1+R2)

dy/dx = R2/(R1+R2)

of:
dUo = dUi * R2/(R1+R2)

dUo/dUi = R2/(R1+R2)

Xilvo

Klopt. Eigenlijk beschouw je

\(U_{o}=U_{i}.\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

als een functie met drie variabelen, U_i, R₁ en R₂.

Als je van een functie met meer variabelen de afgeleide naar één van die variabelen neemt heet dat partiële afgeleide, en die wordt (als je het netjes doet) dan met 'delta' geschreven i.p.v. 'd':

\(\frac{\delta U_{o}}{\delta U_{i}}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\)

Dat is de eerste van de drie vergelijkingen die je in je eerste bericht onder elkaar schreef.

Ik denk dat je die ander twee,

\(\frac{\delta U_{o}}{\delta R_{1}}}\)

en

\(\frac{\delta U_{o}}{\delta R_{2}}}\)

nu ook wel kunt vinden!

Bandoneon

Daarvoor heb ik het volgende gevonden:

Voor dR1:
y = Ui * (R2/(x+R2))

Met de formule die ik al eerder vermeld heb kan ik besluiten:
(U/V)' = (U' * V - U * V' )/ V²

(dR2 * R1 - (dR1 + dR2) * R2) / (R1+R2)²

dR2 is een constante en de afgeleide van een constante is 0:

0 * R1 - (dR1 * R2 + 0 * R2) / (R1+R2)²

-dR1*R2/(R1+R2)²

Besluit:

dUo/dR1 = - R2 * Ui / (R1+R2)²

Voor dR2:
y = Ui * (y/(R1+y))

Met de formule die ik al eerder vermeld heb kan ik besluiten:
(U/V)' = (U' * V - U * V' )/ V²

dR2 * R1 - (dR1 + dR2) * R2 / (R1+R2)²

Omdat dR1 een constante is en de afgeleide van een constante is 0:
dR2 * R1 - (0 + dR2 * R2) / (R1+R2)²

Enkel hier heb ik nog een probleem met dR2 * R2 valt deze dan ook weg?

Als ik dR2* R2 laat wegvallen verkrijg ik:
dUo/dR2 = R1 * Ui / (R1+R2)²

Xilvo

Het is me niet helemaal duidelijk wat je doet.

Hier laatste uitgeschreven (aan de rechterkant moet natuurlijk de x staan, niet y)

\(y = U_{i} *\frac{x}{R_{1}+x}\)

(U/V)' = (U' * V - U * V' )/ V²

U_i is hier een constante, die 'vergeet' ik even, zet ik zo weer terug.

met U=x, V=R₁+x

\((\frac{U}{V})'=\frac{U'.V-U.V'}{V^{2}}=\frac{1.(R_{1}+x)-x.1}{(R_{1}+x)^{2}}=\frac{R_{1}}{(R_{1}+x)^{2}}\)

Met U_i weer teruggezet en x=R₂ krijg je dan.

\(\frac{\delta U_{o}}{\delta R_{2}}=U_{i}.\frac{R_{1}}{(R_{1}+R_{2})^{2}}\)

Bandoneon

Dankjewel ik snap het nu volledig! In de les was dit allemaal een beetje vaag uitgelegd. Ik heb nu kunnen besluiten als ik de variabele vervang door x dat het eigenlijk allemaal veel vlotter gaat! Bedankt voor uw hulp en voor uw snel advies!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Differentiaal vergelijking

Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking

Re: Differentiaal vergelijking