Springen naar inhoud

Oplossen goniometrische vergelijkingen



  • Log in om te kunnen reageren

#1

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2018 - 12:04

Beste mensen, 

 

Ik loop vast met een examenvraag. 

 

Opgave 3a ging goed, alleen opgave 3b loop ik vast en bij opgave c zou ik graag wat aanwijzingen/tips willen hoe ik die kan aanpakken. 

 

Ik moet in een opgave de vergelijking sin(2t) = cos(t) oplossen. Volgens de antwoorden mis ik twee oplossingen. 

Ik kan niet vinden waar de fout zit in mijn berekening. Ik gebruik een verdubbelingsformule : sin(2t) = 2sin(t)*cos(t) , maar ik snap niet waarom ik twee oplossingen mis. 

De twee oplossingen die ik nog mis zijn: t=1/2pi , t=3/2pi 

 

Alvast bedankt voor de hulp.

Bijgevoegde Bestanden

Veranderd door William92, 18 juli 2018 - 12:05

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24319 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juli 2018 - 13:39

Ik moet in een opgave de vergelijking sin(2t) = cos(t) oplossen. Volgens de antwoorden mis ik twee oplossingen. 
Ik kan niet vinden waar de fout zit in mijn berekening. Ik gebruik een verdubbelingsformule : sin(2t) = 2sin(t)*cos(t) , maar ik snap niet waarom ik twee oplossingen mis.

 
Je 'schrapt' (wegdelen) gewoon cos(t), maar dat is gevaarlijk: wat als cos(t) gelijk zou zijn aan 0...? Veiliger gaat het als volgt:
 
2*sin(t)*cos(t) = cos(t)
2*sin(t)*cos(t) - cos(t) = 0
cos(t) * (2*sin(t) - 1) = 0
 
Nu is het duidelijk dat aan de vergelijking voldaan is indien sin(t) = 1/2, en dat heb je opgelost, maar ook indien cos(t) = 0 en dat levert netjes:
 

De twee oplossingen die ik nog mis zijn: t=1/2pi , t=3/2pi



en bij opgave c zou ik graag wat aanwijzingen/tips willen hoe ik die kan aanpakken.

 
Ga na voor welke parameterwaarden (t) je in (0,0) zit en bepaal voor die waarden de rico van de raaklijn, er geldt: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2018 - 14:31

 
Je 'schrapt' (wegdelen) gewoon cos(t), maar dat is gevaarlijk: wat als cos(t) gelijk zou zijn aan 0...? Veiliger gaat het als volgt:
 
2*sin(t)*cos(t) = cos(t)
2*sin(t)*cos(t) - cos(t) = 0
cos(t) * (2*sin(t) - 1) = 0
 
Nu is het duidelijk dat aan de vergelijking voldaan is indien sin(t) = 1/2, en dat heb je opgelost, maar ook indien cos(t) = 0 en dat levert netjes:
 



 
Ga na voor welke parameterwaarden (t) je in (0,0) zit en bepaal voor die waarden de rico van de raaklijn, er geldt: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).

 

Aha, dat maakt het duidelijker inderdaad. Delen door 0 mag dus nooit, onder geen enkele voorwaarde? Want ik bedacht me dat als de teller dus ook op 0 zou staan, dat je dan 0/0 krijgt en dat dat niet zo erg is... Maar dan deel je eigenlijk twee oplossingen weg. 

 

Edit: bij deze vraag heb ik vier oplossingen gekregen, om nu de coördinaten te krijgen moet ik deze uitkomsten invullen in x(t) en y(t). Is dit correct? Wat ik me afvraag is of je dan de uitkomsten van de cosinus alleen bij x(t) moet invullen en de twee uitkomsten van sinus bij y(t) invullen. Correct me if i'm wrong. 

Veranderd door William92, 18 juli 2018 - 14:40

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24319 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juli 2018 - 14:50

Maar dan deel je eigenlijk twee oplossingen weg. 

 
Inderdaad. Dus beter: ontbinden in factoren en zo geen oplossingen verliezen.
 

Edit: bij deze vraag heb ik vier oplossingen gekregen, om nu de coördinaten te krijgen moet ik deze uitkomsten invullen in x(t) en y(t). Is dit correct? Wat ik me afvraag is of je dan de uitkomsten van de cosinus alleen bij x(t) moet invullen en de twee uitkomsten van sinus bij y(t) invullen. Correct me if i'm wrong.

 

Wat bedoel je precies? Er zijn maar twee waarden voor t, gelegen tussen 0 en 2*pi, waarvoor je in (0,0) terechtkomt. Let op dat daarvoor zowel de x- als de y-coördinaat (tegelijkertijd) 0 moeten zijn...

 

Voor die t-waarden kan je dan de afgeleide gaan bepalen om de rico van de raaklijn te vinden.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2018 - 14:58

 
Inderdaad. Dus beter: ontbinden in factoren en zo geen oplossingen verliezen.
 

 

Wat bedoel je precies? Er zijn maar twee waarden voor t, gelegen tussen 0 en 2*pi, waarvoor je in (0,0) terechtkomt. Let op dat daarvoor zowel de x- als de y-coördinaat (tegelijkertijd) 0 moeten zijn...

 

Voor die t-waarden kan je dan de afgeleide gaan bepalen om de rico van de raaklijn te vinden.

 

Oh ik had ff moeten aangeven dat het nog over vraag 3b ging. Want ik moet exact de coördinaten bepalen met die vier t-uitkomsten... Ik heb t=1/6 pi en t=5/6pi ingevuld in y(t) en daar kwam 1/4sqrt(3) en -1/4sqrt(3) uit... Deze y-coördinaten kloppen met de uitwerkingen. Alleen bij x(t) = cos(t) gaat het mis. Ik vul daar t=1/2pi en t=3/2pi in en daar komt beide 0 uit. 

 

Volgens de uitwerkingen moet daar 1/2sqrt(3) en -1/2sqrt(3) uitkomen... Zodat de coördinaten: [1/2sqrt(3), 1/4sqrt(3)] en [-1/2sqrt(3),[-1/4sqrt(3)] zijn. 

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

#6

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2981 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 juli 2018 - 15:13

Delen door 0 mag dus nooit, onder geen enkele voorwaarde?

Dat zou als het goed is bekend moeten zijn, maar het is inderdaad correct. Stel a, b en c zijn 3 gegeven getallen met de eigenschap a:b = c, dan volgt hieruit dat a = b·c. Stel b = 0 en a niet nul, dan geldt dus dat a:0 = c, dus a = 0·c. Omdat a niet nul is kan dit niet, dus als je een getal ongelijk aan nul door nul deelt is er geen enkel getal te vinden waarvoor zo'n deling opgaat. Indien a en b allebei nul zijn geldt dus dat 0:0 = c, dus 0 = 0·c. Omdat dit voor alle waarden van c juist is betekent dit dat de deling 0:0 niet eenduidig bepaald is zoals dat heet, vandaar dat delen door nul dus onder geen enkele voorwaarde is toegestaan.

Even terugkomend op de vergelijking sin 2x = cos x: deze vergelijking is te herschrijven als 2sin x·cos x = cos x. Je kunt nu gebruik maken van de eigenschap dat uit a·b = a·c volgt dat a = 0 of b = c. Ga na dat in dit geval a = cos x, b = 2 sin x en c = 1 geldt. Wat worden dus de oplossingen van de vergelijking sin 2x = cos x?

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24319 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 juli 2018 - 15:16

 

Oh ik had ff moeten aangeven dat het nog over vraag 3b ging. Want ik moet exact de coördinaten bepalen met die vier t-uitkomsten... Ik heb t=1/6 pi en t=5/6pi ingevuld in y(t) en daar kwam 1/4sqrt(3) en -1/4sqrt(3) uit... Deze y-coördinaten kloppen met de uitwerkingen. Alleen bij x(t) = cos(t) gaat het mis. Ik vul daar t=1/2pi en t=3/2pi in en daar komt beide 0 uit. 

 

Volgens de uitwerkingen moet daar 1/2sqrt(3) en -1/2sqrt(3) uitkomen... Zodat de coördinaten: [1/2sqrt(3), 1/4sqrt(3)] en [-1/2sqrt(3),[-1/4sqrt(3)] zijn. 

 

Een punt heeft een x- en een y-coördinaat en bij elke waarde van t hoort één punt, dus je moet die t natuurlijk zowel bij x(t) and bij y(t) invullen. Dat daar ook twee keer 0 uitrolt is logisch, want (0,0) is óók een snijpunt van de kromme met die rechte. Jij vond alvast de juiste y-coördinaten, de bijhorende x-coördinaten van die twee punten vind je door diezelfde t-waarde in x(t) in te vullen.

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2018 - 16:05

Dat zou als het goed is bekend moeten zijn, maar het is inderdaad correct. Stel a, b en c zijn 3 gegeven getallen met de eigenschap a:b = c, dan volgt hieruit dat a = b·c. Stel b = 0 en a niet nul, dan geldt dus dat a:0 = c, dus a = 0·c. Omdat a niet nul is kan dit niet, dus als je een getal ongelijk aan nul door nul deelt is er geen enkel getal te vinden waarvoor zo'n deling opgaat. Indien a en b allebei nul zijn geldt dus dat 0:0 = c, dus 0 = 0·c. Omdat dit voor alle waarden van c juist is betekent dit dat de deling 0:0 niet eenduidig bepaald is zoals dat heet, vandaar dat delen door nul dus onder geen enkele voorwaarde is toegestaan.

Even terugkomend op de vergelijking sin 2x = cos x: deze vergelijking is te herschrijven als 2sin x·cos x = cos x. Je kunt nu gebruik maken van de eigenschap dat uit a·b = a·c volgt dat a = 0 of b = c. Ga na dat in dit geval a = cos x, b = 2 sin x en c = 1 geldt. Wat worden dus de oplossingen van de vergelijking sin 2x = cos x?

 

cos(x) = 0  daar rolt uit: 

x = 1/2pi + k2pi 

x = 3/2pi + k2pi

 

sin(x) = 1/2 

x = 1/6pi + k2pi

x = 5/6pi + k2pi

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

#9

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2981 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 juli 2018 - 16:27

 

cos(x) = 0  daar rolt uit: 

x = 1/2pi + k2pi 

x = 3/2pi + k2pi

 

sin(x) = 1/2 

x = 1/6pi + k2pi

x = 5/6pi + k2pi

Dat is correct.

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#10

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2018 - 18:20

 
Inderdaad. Dus beter: ontbinden in factoren en zo geen oplossingen verliezen.
 

 

Wat bedoel je precies? Er zijn maar twee waarden voor t, gelegen tussen 0 en 2*pi, waarvoor je in (0,0) terechtkomt. Let op dat daarvoor zowel de x- als de y-coördinaat (tegelijkertijd) 0 moeten zijn...

 

Voor die t-waarden kan je dan de afgeleide gaan bepalen om de rico van de raaklijn te vinden.

 

de twee t-waarden zijn: t=1/2pi en t=3/2pi 

 

 

LaTeX

     = LaTeX  -> LaTeX

 

en dan kom ik voor t=1/2pi uit op: LaTeX

???

 

en voor t=3/2pi op: LaTeX

 

Het antwoord zit in de bijlage. Er moet 0 en 2 uitkomen als je y'(t) / x'(t) op elkaar deelt..? 

Bijgevoegde Bestanden

Veranderd door William92, 18 juli 2018 - 18:25

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

#11

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2981 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 juli 2018 - 18:47

Als t = ½π, dan geldt: 2t = ..., dus cos 2t = ..., dus -cos 2t - sin t = ...

Als t = 1½π, dan geldt: 2t = ..., dus cos 2t = ..., dus -cos 2t - sin t = ...

Welke vergelijkingen vind je dus voor de raaklijnen in O?

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#12

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2018 - 19:37

Als t = ½π, dan geldt: 2t = ..., dus cos 2t = ..., dus -cos 2t - sin t = ...

Als t = 1½π, dan geldt: 2t = ..., dus cos 2t = ..., dus -cos 2t - sin t = ...

Welke vergelijkingen vind je dus voor de raaklijnen in O?

 

Ik snap niet waarom je dit doet. wil je t omschrijven naar 2t en dat invullen in de vergelijkingen? 2t kan je toch niet invullen bij -sin(t) ? 

 

t=1/2pi dan is 2t=pi ? 

t=1 1/2pi dan is 2t=3pi?

 

Dus pi en 3pi invullen in de noemer? Maar hoe zit dat dan voor -sin(t) ? 

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24319 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juli 2018 - 09:08

LaTeX

     = LaTeX  -> LaTeX
 
en dan kom ik voor t=1/2pi uit op: LaTeX ???

 
Je draait hier teller en noemer om; x'(t) = dx/dt = -sin(t) en y'(t) = ... dus je krijgt inderdaad 0/(-1) = 0 voor de ene rico.
 

en voor t=3/2pi op: LaTeX


 
Het antwoord zit in de bijlage. Er moet 0 en 2 uitkomen als je y'(t) / x'(t) op elkaar deelt..?


Ook hier de breuk omkeren en de goniometrische getallen goed uitrekenen:

 

LaTeX

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

William92

    William92


  • >25 berichten
  • 87 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juli 2018 - 13:31

 
Je draait hier teller en noemer om; x'(t) = dx/dt = -sin(t) en y'(t) = ... dus je krijgt inderdaad 0/(-1) = 0 voor de ene rico.
 


Ook hier de breuk omkeren en de goniometrische getallen goed uitrekenen:

 

LaTeX

 

Oke, hartstikke bedankt voor alle hulp iedereen! Ik snap het nu helemaal. 

I have no special talents, I am just passionately curious - Albert Einstein.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24319 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 juli 2018 - 13:40

Prima & graag gedaan! :)

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures