[wiskunde] oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

lenk

"Hoeveel oplossingen zijn er voor de volgende vergelijking in het interval [0; π] ?"

cos² (4x - π/6) = 1/4

uitwerking:

cos (4x - π/6) = 1/2 of cos (4x - π/6) = -1/2
==> 4x - π/6 = π/3 + k x 2π of   4x - π/6 = - π/3 + k x 2π
<==> 4x = π/6 + π/3 + k x 2π of 4x =  π/6 - π/3 + k x 2π
<==> x = (π/2) / 4 + k x 2π/ 4 of    x = (- π/6) / 4   + k x 2π/ 4
<==> x = π/8 + k x π/2 of x = π/24 + k x π/2

Is deze uitwerking correct? Zo ja hoe vind ik dan vervolgens gemakkelijk de andere oplossingen? In deze oefening zou ik acht oplossingen moeten vinden maar als ik bij de gevonden hoeken k x π/2 optel dan kom ik op vier oplossingen... Ik weet dat je eventueel ook gebruik kan maken van verwante hoeken maar ik zou niet weten welke verwante hoek ik moet gebruiken...

Kan iemand mij verder helpen?

Xilvo

Maak een grafiek van de functie en kijk wat er wel/niet goed is aan wat je berekent.

mathfreak

De algemene oplossing x = 1/8π+½kπ is correct. De andere algemene oplossing is x = -1/24π+½kπ. Omdat x in [0,π] moet liggen moet het gehele getal k een zodanige waarde hebben dat 0<1/8π+½kπ<π of 0<-1/24π+½kπ<π, dus 0<1/8+½k<1 of 0<-1/24+½k<1. Uit 0<1/8+½k<1 volgt dan dat k = 0 of k = 1. Uit 0<-1/24+½k<1 volgt dan dat k = 1 of k = 2.

ukster

Is dit een oplossing (dezelfde k range)

: Gonio.png (1.71 KiB) 786 keer bekeken

tempelier

ukster schreef: Is dit een oplossing (dezelfde k range) Gonio.png

Ik vind dit toch iets netter.

\(\Biggl(\frac{4\pm1+12k}{24}\Biggr)\pi\qquad k=1,2\)

Maar het blijft een kwestie van smaak natuurlijk.

lenk

mathfreak schreef: dus 0<1/8+½k<1 of 0<-1/24+½k<1. Uit 0<1/8+½k<1 volgt dan dat k = 0 of k = 1. Uit 0<-1/24+½k<1 volgt dan dat k = 1 of k = 2.

Ik begrijp waarom je π uit de vergelijking haalt maar hoe kom je dan tot oplossingen die tussen 0 en π liggen? Met jouw uitleg kom ik tenslotte ook maar op vier oplossingen en ik zou er acht moeten vinden?

lenk

tempelier schreef: Ik vind dit toch iets netter.

\(\Biggl(\frac{4\pm1+12k}{24}\Biggr)\pi\qquad k=1,2\)

Maar het blijft een kwestie van smaak natuurlijk.

Wat werk je uit tussen de haakjes? Hoe kom je hieraan?

mathfreak

Welke oplossingen geeft je antwoordenboek? Voldoen de overige oplossingen wel aan de gegeven vergelijking? Voor zover ik weet zijn alleen de 4 door mij genoemde oplossingen te vinden. Houd er rekening mee dat een antwoordenboek helaas ook fouten kan bevatten. Als de overige oplossingen niet aan de gegeven vergelijking voldoen kun je er zeker van zijn dat er inderdaad een fout in het antwoordenboek staat.

Xilvo

Er zijn acht oplossingen.

cos²(4x - π/6) = ½(1 + cos(8x - π/3))

Deze functie heeft voor x [0 .. π] 4 complete periodes en snijdt y=0,25 dus echt 8 maal.

Xilvo

Oplossing zijn dan:

\(\frac{\pi}{8}+k.\frac{\pi}{4}\ \ (k=0,1,2,3)\\)

en

\(\frac{5.\pi}{24}+k.\frac{\pi}{4}\ \ (k=0,1,2,3)\\)

tempelier

lenk schreef:
Wat werk je uit tussen de haakjes? Hoe kom je hieraan?

Dat zag ik uit het hoofd. (ik heb al heel wat van die sommetjes gezien.

Uitwerken is gemakkelijk neem eerst de plus waarde voor de +/- en vul 1 voor k in dat geeft een oplossing.
Vul vervolgens 2 in voor k dat geeft dan de tweede waarde.

Doe dit nog een keer maar neem nu de min voor de +/-

TD

lenk schreef:"Hoeveel oplossingen zijn er voor de volgende vergelijking in het interval [0; π] ?"

cos² (4x - π/6) = 1/4

uitwerking:

cos (4x - π/6) = 1/2 of cos (4x - π/6) = -1/2

==> 4x - π/6 = π/3 + k x 2π of 4x - π/6 = - π/3 + k x 2π

Is deze uitwerking correct?

Nee, dit is niet juist:

- als cos(a) = 1/2, dan kan a niet alleen π/3 (+2kπ) zijn, maar ook -π/3 (2kπ);

- als cos(a) = -1/2, dan is a niet -π/3 (immers cos(-π/3) = 1/2, zie vorig puntje) maar 2π/3 of 4π/3.

Deze oplossingen zijn correct en het zijn er dus inderdaad 8 in het gevraagde interval.

Xilvo schreef:Oplossing zijn dan:

\(\frac{\pi}{8}+k.\frac{\pi}{4}\ \ (k=0,1,2,3)\\)

en

\(\frac{5.\pi}{24}+k.\frac{\pi}{4}\ \ (k=0,1,2,3)\\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen

Re: oplossingen van een goniometrische vergelijking bepalen