[wiskunde] Ellips

Annelies687

Beste,

Ik zit een beetje vast bij deze oefening. Ik hebt gevonden dat er een punt Q(p,m) element van ellips E en element van raaklijn t en deze ingevuld in de vergelijkingen

t: (px/16) + (3my/4) =1
E: ((p^2)/16) + (3(m^2)/4) = 16

maar ik weer niet hoe je je p en m dan vindt want je zit met 4 onbekenden? (m,p,x,y)

mathfreak

Hint: als een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt P(p,q) gaat, dan heeft de lijn de punt-richtingsvergelijking y-q = m(x-p). Je weet door welk punt de raaklijnen gaan, dus de punt-richtingsvergelijking van de raaklijnen is dan bekend. Bedenk vervolgens dat een raaklijn aan een ellips precies 1 snijpunt met de ellips moet hebben en bepaal aan de hand hiervan de vergelijkingen van de raaklijnen.

Annelies687

mathfreak schreef: Hint: als een lijn met richtingscoëfficiënt m door het punt P(p,q) gaat, dan heeft de lijn de punt-richtingsvergelijking y-q = m(x-p). Je weet door welk punt de raaklijnen gaan, dus de punt-richtingsvergelijking van de raaklijnen is dan bekend. Bedenk vervolgens dat een raaklijn aan een ellips precies 1 snijpunt met de ellips moet hebben en bepaal aan de hand hiervan de vergelijkingen van de raaklijnen.

Maar de rico van de snijdende rechte is toch niet gegeven, dus hoe kan je dan je punt-richtingsvergelijking weten?

TD

De rechte door (5,1/2) en met rico m heeft als vergelijking: y-1/2 = m(x-5) <=> y = mx-5m+1/2.

Zoek hiervan de snijpunten met de ellips door substitutie van de rechte in de ellips: het gaat om een raaklijn als er maar één snijpunt is maar dat betekent dat de kwadratische vergelijking (bv. in x) die je krijgt, een nulle discriminant moet hebben. Dat geeft je een voorwaarde op m, waaruit je de (mogelijke) rico('s) kan berekenen.

Back2Basics

@TD: Heerlijk duidelijke uitleg!

Annelies687

TD schreef: De rechte door (5,1/2) en met rico m heeft als vergelijking: y-1/2 = m(x-5) <=> y = mx-5m+1/2.

Zoek hiervan de snijpunten met de ellips door substitutie van de rechte in de ellips: het gaat om een raaklijn als er maar één snijpunt is maar dat betekent dat de kwadratische vergelijking (bv. in x) die je krijgt, een nulle discriminant moet hebben. Dat geeft je een voorwaarde op m, waaruit je de (mogelijke) rico('s) kan berekenen.

Aaahn, oké. Héél erg bedankt!!

tempelier

Er is denk ik een alternatief.

Gezien het een kegelsnede is kan in een punt (a,b) op de kegelsnede de raaklijn worden opgesteld in termen van a en b.
Deze raaklijn gaat door P dit geeft een betrekking tussen a en b.
Er is een tweede betrekking tussen a en b omdat (a,b) op de ellips ligt.

TD

Back2Basics schreef: @TD: Heerlijk duidelijke uitleg!

Annelies687 schreef:
Aaahn, oké. Héél erg bedankt!!

Bedankt & graag gedaan!

mathfreak

Annelies687 schreef:
Maar de rico van de snijdende rechte is toch niet gegeven, dus hoe kan je dan je punt-richtingsvergelijking weten?

De rico m die je zoekt veronderstel je gewoon als bekend, dus dat geeft voor de punt-richtingsvergelijking een algebraïsche uitdrukking in m. Vervolgens bepaal je algebraïsch het snijpunt van de raaklijn met de ellips. Dit levert een kwadratische vergelijking waarvan de discriminant nul is. Uit de voorwaarde dat de discriminant nul is volgt dat je een kwadratische vergelijking in m krijgt waaruit je m oplost.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Ellips

Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips

Re: Ellips