Het welordeningsprincipe luidt:Zij X een collectie niet-lege verzamelingen. Dan is er een functie f, gedefinieerd op X, zodanig dat f(V) een element van V is voor elke verzameling V in X
Het is algemeen bekend dat deze twee uitspraken equivalent aan elkaar zijn. Het bewijs \(\Leftarrow\) wordt als triviaal gezien, en gaat als volgt: Zij X een collectie van verzamelingen. Voor ieder element V van X gebruik je het welordeningsprincipe om een welordening te vinden, en definiëer je vervolgens f(V) als het kleinste element van deze welordening.Voor iedere set X is er een welordening op X
Maar klopt dit bewijs wel? Volgens mij gebruik je nu stiekem ook weer het keuzeaxioma. Gegeven een welordering van een verzameling is iedere permutatie van de elementen van deze welordening ook een welordening. In het bijzonder heeft een oneindige verzameling dus altijd oneindig veel welordeningen. Om het kleinste element van een welordening van een verzameling te kiezen, moeten we dus eerst een specifieke welordening kiezen. Wat in het bewijs dus eigenlijk gebeurd is dat voor ieder element V van X we uit de verzameling van alle welordeningen op V een specifieke welordening kiezen. Hiervoor is het keuzeaxioma nodig.
Zie ik nu iets over het hoofd?
