Inloggen Account aanmaken

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

[Wiskunde] Limiet bepalen

Begonnen door: -=zweistein=-, 18 mrt 2006 12:59

Log in om te kunnen reageren

#1

-=zweistein=-

>100 berichten

237 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 12:59

Een lastige:

lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo

The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq

Terug naar boven

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Comm

>100 berichten

128 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 14:17

Ik zou zeggen dat de limiet 0 wordt.

e^0 wordt 1 zeg maar

dus (3+x)*1 wordt oneindig groot en daar trek je oneindig groot vanaf dus 0?

zit ik zo ongeveer goed?

Terug naar boven

#3

Rogier

>5k berichten

5679 berichten
VIP

Geplaatst op 18 maart 2006 - 14:20

Je kunt hem ook zo schrijven:

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{x\rightarrow\infty}[x(e^{1/(1+x)}-1)+3\cdot e^{1/(1+x)}]
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Nu gaat e^1/(1+x) naar 1 dus dat rechterstuk wordt sowieso 3. Is alleen de vraag hoe hard e^1/(1+x) naar 1 gaat in verhouding tot x[pijltje]

. Hard genoeg, want de limiet is 4, maar even kijken welke afschatting je kunt gebruiken om dat te bewijzen :roll:

(edit) oh ja, je neemt gewoon

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

, oftewel

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
e^t = 1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\cdots
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Als je dat invult in dat linker stuk van de limiet krijg je

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
x(1+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2(1+x)^2}+\frac{1}{6(1+x)^3}+\cdots-1) = \frac{x}{1+x}+\frac{x}{2(1+x)^2}+\frac{x}{6(1+x)^3}+\cdots
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en daarvan gaan alle termen behalve de eerste naar 0, en de eerste wordt 1. Plus die 3 van hierboven maakt 4.

In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Terug naar boven

#4

EvilBro

>5k berichten

6764 berichten
VIP

Geplaatst op 18 maart 2006 - 14:42

Een lastige:

lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo

Ik zou het zo doen (maar of het helemaal mag...):

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{x \rightarrow \infty} (x+3)e^{\frac{1}{1+x}}-x = \lim_{u \downarrow 0} (\frac{1}{u}+2)e^u-(\frac{1}{u}-1) = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(e^u-1)+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}-1)+2e^u+1
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
= \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} 1 + \sum_{n=2}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = 1 + 0 + 2 + 1 = 4
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Terug naar boven

#5

-=zweistein=-

>100 berichten

237 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2006 - 15:59

Bedankt voor jullie hulp

The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq

Terug naar boven

#6

dreamz

>100 berichten

108 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2006 - 12:20

Een lastige:

lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo

Ik zou het zo doen (maar of het helemaal mag...):
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
\lim_{x \rightarrow \infty} (x+3)e^{\frac{1}{1+x}}-x = \lim_{u \downarrow 0} (\frac{1}{u}+2)e^u-(\frac{1}{u}-1) = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(e^u-1)+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}-1)+2e^u+1
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
sluiten
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
= \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} 1 + \sum_{n=2}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = 1 + 0 + 2 + 1 = 4
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
sluiten

Hoe ga je juist van

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
e^u
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

naar

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
 (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

?

Terug naar boven

#7

TD

>5k berichten

24107 berichten
VIP

Geplaatst op 19 maart 2006 - 12:26

Dat is 'de' (lees: een mogelijke, veel gebruikte) definitie voor de exponentiële functie.

Terug naar boven

#8

dreamz

>100 berichten

108 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2006 - 12:35

Dus

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
e^u
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

=

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
 (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

en meer zit er niet achter?

Terug naar boven

#9

TD

>5k berichten

24107 berichten
VIP

Geplaatst op 19 maart 2006 - 12:40

Dus
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
e^u
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
sluiten
=
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
 (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en meer zit er niet achter?

Het moet volgens mij wel vanaf 0 starten, zie onder andere Mathworld: Exponential function of Wikipedia: Exponential function

Terug naar boven

#10

sirius

>250 berichten

336 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2006 - 14:49

Dus
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
e^u
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
sluiten
=
Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:
[tex]
 (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})
[/tex]
Handleiding werken met LaTeX
sluiten
en meer zit er niet achter?
Het moet volgens mij wel vanaf 0 starten, zie onder andere Mathworld: Exponential function of Wikipedia: Exponential function

Eigenlijk kun je vele* functies zo schrijven, in ieder geval sinus, cosinus, polynomen, en functies die bestaan uit vermenigvuldiging en delingen van die dingen.
Deze andere schrijfwijze het een Taylor polynoom, waar waarschijnlijk op internet genoeg over te vinden is. De truc van het taylor polynoom is te zeggen dat de functie op een klein stukje lijkt op een rechte lijn. Hij lijkt nog iets beter op een parabool, op een groter stukje. Een derde macht past eigenlijk wel beter, enz. Als je zo oneindig lang door gaat heb je de functie weer terug.

*) Volgens mij moeten alle afgeleiden eindig zijn ofzo, maar dat lukt wel met sinussen e.d.

Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

Terug naar boven

#11

Bert

>250 berichten

718 berichten
Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2006 - 16:48

Eigenlijk kun je vele* functies zo schrijven, in ieder geval sinus, cosinus, polynomen, en functies die bestaan uit vermenigvuldiging en delingen van die dingen.
Deze andere schrijfwijze het een Taylor polynoom, waar waarschijnlijk op internet genoeg over te vinden is. De truc van het taylor polynoom is te zeggen dat de functie op een klein stukje lijkt op een rechte lijn. Hij lijkt nog iets beter op een parabool, op een groter stukje. Een derde macht past eigenlijk wel beter, enz. Als je zo oneindig lang door gaat heb je de functie weer terug.

*) Volgens mij moeten alle afgeleiden eindig zijn ofzo, maar dat lukt wel met sinussen e.d.

Niet Taylor polynoom maar Taylor reeks (een polynoom heeft maar een eindig aantal termen).

Dat de afgeleiden bestaan is niet genoeg. De reeks moet convergeren. Bij e^x is dat zo ongeacht de waarde van x.

Terug naar boven

#12

Safe

>5k berichten

9963 berichten
Pluimdrager

Geplaatst op 20 maart 2006 - 11:05

Dit plaatje is gegenereerd met de volgende code:

[tex]
\lim_{x \rightarrow \infty} ((x+3)e^{\frac{1}{x}}-x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (x(e^{\frac{1}{x}}-1)+3e^{\frac{1}{x}})=\lim_{x \rightarrow \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)+3*\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{e^y-1}{y}+3=1+3=4
[/tex]

Handleiding werken met LaTeX

sluiten

Opm:
-eerst x+1 in de noemer vervangen door x (immers x gaat naar oneindig).
-de laatste limiet is een standaardlimiet.