[Wiskunde] Limiet bepalen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 237
[Wiskunde] Limiet bepalen
Een lastige:
lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo
lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo
The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq
-
- Berichten: 128
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Ik zou zeggen dat de limiet 0 wordt.
e^0 wordt 1 zeg maar
dus (3+x)*1 wordt oneindig groot en daar trek je oneindig groot vanaf dus 0?
zit ik zo ongeveer goed?
e^0 wordt 1 zeg maar
dus (3+x)*1 wordt oneindig groot en daar trek je oneindig groot vanaf dus 0?
zit ik zo ongeveer goed?
- Berichten: 5.679
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Je kunt hem ook zo schrijven:
(edit) oh ja, je neemt gewoon
\(\lim_{x\rightarrow\infty}[x(e^{1/(1+x)}-1)+3\cdot e^{1/(1+x)}]\)
Nu gaat e1/(1+x) naar 1 dus dat rechterstuk wordt sowieso 3. Is alleen de vraag hoe hard e1/(1+x) naar 1 gaat in verhouding tot x[pijltje] . Hard genoeg, want de limiet is 4, maar even kijken welke afschatting je kunt gebruiken om dat te bewijzen (edit) oh ja, je neemt gewoon
\(e^t=\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n!}\)
, oftewel \(e^t = 1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+\cdots\)
Als je dat invult in dat linker stuk van de limiet krijg je \(x(1+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2(1+x)^2}+\frac{1}{6(1+x)^3}+\cdots-1) = \frac{x}{1+x}+\frac{x}{2(1+x)^2}+\frac{x}{6(1+x)^3}+\cdots\)
en daarvan gaan alle termen behalve de eerste naar 0, en de eerste wordt 1. Plus die 3 van hierboven maakt 4.In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 7.068
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Ik zou het zo doen (maar of het helemaal mag...):=zweistein=- schreef:Een lastige:
lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo
\(\lim_{x \rightarrow \infty} (x+3)e^{\frac{1}{1+x}}-x = \lim_{u \downarrow 0} (\frac{1}{u}+2)e^u-(\frac{1}{u}-1) = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(e^u-1)+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}-1)+2e^u+1\)
\(= \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} 1 + \sum_{n=2}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = 1 + 0 + 2 + 1 = 4\)
-
- Berichten: 237
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Bedankt voor jullie hulp
The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq
-
- Berichten: 108
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Hoe ga je juist vanEvilBro schreef:Ik zou het zo doen (maar of het helemaal mag...):=zweistein=- schreef:Een lastige:
lim [ (x+3)*e^(1/(1+x)) - x ]
x->oo
\(\lim_{x \rightarrow \infty} (x+3)e^{\frac{1}{1+x}}-x = \lim_{u \downarrow 0} (\frac{1}{u}+2)e^u-(\frac{1}{u}-1) = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(e^u-1)+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=0}^\infty\frac{u^n}{n!}-1)+2e^u+1\)\(= \lim_{u \downarrow 0} \frac{1}{u}(\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} \sum_{n=1}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = \lim_{u \downarrow 0} 1 + \sum_{n=2}^\infty\frac{u^{n-1}}{n!}+2e^u+1 = 1 + 0 + 2 + 1 = 4\)
\(e^u\)
naar \( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)
?- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Dat is 'de' (lees: een mogelijke, veel gebruikte) definitie voor de exponentiële functie.
-
- Berichten: 108
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Dus
\(e^u\)
= \( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)
en meer zit er niet achter?- Berichten: 24.578
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Het moet volgens mij wel vanaf 0 starten, zie onder andere Mathworld: Exponential function of Wikipedia: Exponential functionDus\(e^u\)=\( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)en meer zit er niet achter?
-
- Berichten: 336
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Eigenlijk kun je vele* functies zo schrijven, in ieder geval sinus, cosinus, polynomen, en functies die bestaan uit vermenigvuldiging en delingen van die dingen.Het moet volgens mij wel vanaf 0 starten, zie onder andere Mathworld: Exponential function of Wikipedia: Exponential functiondreamz schreef:Dus\(e^u\)=\( (\sum_{n=1}^\infty\frac{u^n}{n!})\)en meer zit er niet achter?
Deze andere schrijfwijze het een Taylor polynoom, waar waarschijnlijk op internet genoeg over te vinden is. De truc van het taylor polynoom is te zeggen dat de functie op een klein stukje lijkt op een rechte lijn. Hij lijkt nog iets beter op een parabool, op een groter stukje. Een derde macht past eigenlijk wel beter, enz. Als je zo oneindig lang door gaat heb je de functie weer terug.
*) Volgens mij moeten alle afgeleiden eindig zijn ofzo, maar dat lukt wel met sinussen e.d.
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.
-
- Berichten: 718
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Niet Taylor polynoom maar Taylor reeks (een polynoom heeft maar een eindig aantal termen).sirius schreef:Eigenlijk kun je vele* functies zo schrijven, in ieder geval sinus, cosinus, polynomen, en functies die bestaan uit vermenigvuldiging en delingen van die dingen.
Deze andere schrijfwijze het een Taylor polynoom, waar waarschijnlijk op internet genoeg over te vinden is. De truc van het taylor polynoom is te zeggen dat de functie op een klein stukje lijkt op een rechte lijn. Hij lijkt nog iets beter op een parabool, op een groter stukje. Een derde macht past eigenlijk wel beter, enz. Als je zo oneindig lang door gaat heb je de functie weer terug.
*) Volgens mij moeten alle afgeleiden eindig zijn ofzo, maar dat lukt wel met sinussen e.d.
Dat de afgeleiden bestaan is niet genoeg. De reeks moet convergeren. Bij ex is dat zo ongeacht de waarde van x.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
\(\lim_{x \rightarrow \infty} ((x+3)e^{\frac{1}{x}}-x) = \lim_{x \rightarrow \infty} (x(e^{\frac{1}{x}}-1)+3e^{\frac{1}{x}})=\lim_{x \rightarrow \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)+3*\lim_{x \rightarrow \infty}e^{\frac{1}{x}}=\lim_{y \rightarrow 0}\frac{e^y-1}{y}+3=1+3=4\)
Opm:
-eerst x+1 in de noemer vervangen door x (immers x gaat naar oneindig).
-de laatste limiet is een standaardlimiet.
Re: [Wiskunde] Limiet bepalen
Pas de substitutie toe u = 1/(x+1) ofwel x = (1-u)/u.
Dat levert een simpele limiet op.
Dat levert een simpele limiet op.