Ik kies de z-as zo dat hij parallel loopt met de as van de cilinder, door het middelpunt van de bol. Het middelpunt van de ciliner leggen we op de x-as. Voor het gemak snijden we het hele probleem doormidden langs het x-y-vlak. Ik bereken dus de inhoud van een halve cilinder, en vermenivuldig dat met twee.
De bol wordt geparametriseert door:
\(x^2 + y^2+z^2=a^2\)
voor positieve z wordt de hoogte van de bol dus:
\(h(x,y)=\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}\)
De cilinder parametriseren we met:
\(\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2\)
We definiëren S als het grondoppervlak van de cilinder. Dus:
\(S = \left{(x,y) \left|\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 \leq \left(\frac{a}{2}\right)^2\right}=\left{(x,y) \left|^{}0\leq x\leq a, -\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(x-\frac{a}{2})^2}\leq y\leq \sqrt{(\frac{a}{2})^2-(x-\frac{a}{2})^2}\right}\)
Nu wordt de inhoud van de doorsnede 'simpelweg' gegeven door:
\(I = 2\int_Sh(x,y) = 4\int_0^a\int_0^{\sqrt{(\frac{a}{2})^2-(x-\frac{a}{2})^2}}\sqrt{a^2 - x^2 - y^2}dydx\)
En dat is een leuke integraal om even op te puzzelen
