[Wiskunde] Lineaire en exponentiële groei

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 25-03-'06, 10:11

TomMe

Berichten: 71

[Wiskunde] Lineaire en exponenti

In mijn boek haalt men enkele voorbeelden aan om lineaire en exponentiële groei te illustreren
  • Bij lineaire groei zijn dit de valbeweging en enkelvoudige intrest (bv een kapitaal van €2500 groeit jaarlijks met €100 aan).
  • Bij exponentiële groei zijn dit de groei van bacterieën (elke bacterie splitst zich om het uur in twee) en de halveringstijd van radioactieve stoffen.
Nu, bij lineaire groei beweert men dat de grafiek een rechte is (X-as stelt de tijd voor, Y-as de hoeveelheid). Hier stel ik mij wel vragen bij omdat dit toch helemaal niet zo is bij die enkelvoudige intrest? Als je daar het domein beperkt zou je punten krijgen die op een rechte lijn liggen, en als je het continu bekijkt krijg je een soort trap. Klopt dit?

En wat gebeurt er bij de valversnelling? Is dit in realiteit ook een trap of een echte rechte lijn?

En geldt er in de realiteit ook niet iets gelijkaardigs bij die voorbeelden van exponentiële groei? Of zijn de grafieken daarvan ECHT exponentiëel?

Ik haal nog even een oefening aan uit het boek:
De wereldbevolking (5 miljard mensen) neemt per jaar toe met ongeveer 1,7%.

- Hoeveel is de wereldbevolking over 7 jaar en 3 maand? Over x jaar?
Klopt het als ik zeg dat je die vraag niet exact kan beantwoorden omdat men bij het gegeven het domein beperkt tot de natuurlijke getallen (na 1 jaar, na 2 jaar,..)? Of maw, men veronderstelt een continue exponentiële groei?

Mvg,

Tom
Omhoog

Bericht 25-03-'06, 10:35

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [Wiskunde] Lineaire en exponenti

Nu, bij lineaire groei beweert men dat de grafiek een rechte is (X-as stelt de tijd voor, Y-as de hoeveelheid). Hier stel ik mij wel vragen bij omdat dit toch helemaal niet zo is bij die enkelvoudige intrest?
Bij enkelvoudige interest wordt er voor elke periode interest berekent over het oorspronkelijke bedrag. Als je de periode steeds kleiner maakt (zodat je op elk moment kan bepalen hoeveel geld er aanwezig is) dan krijg je een lineair verband. Dit wordt volgens mij bedoelt (of ze kijken alleen op bepaalde momenten).
En wat gebeurt er bij de valversnelling?
De valversnelling is constant (ongeveer 9.81 m/s). De valsnelheid is een lineair verband (a*t).
En geldt er in de realiteit ook niet iets gelijkaardigs bij die voorbeelden van exponentiële groei? Of zijn de grafieken daarvan ECHT exponentiëel?
Tja... dat gaat er een beetje vanaf hangen hoe je "echt" wilt beschouwen.
Ik haal nog even een oefening aan uit het boek:
De wereldbevolking (5 miljard mensen) neemt per jaar toe met ongeveer 1,7%.

- Hoeveel is de wereldbevolking over 7 jaar en 3 maand? Over x jaar?
Klopt het als ik zeg dat je die vraag niet exact kan beantwoorden omdat men bij het gegeven het domein beperkt tot de natuurlijke getallen (na 1 jaar, na 2 jaar,..)?
Lijkt me niet het antwoord dat gewenst wordt. Ik zou gewoon stellen dat de bevolkingsaanwas percentueel gezien constant is en dan kun je de vraag prima beantwoorden.
Omhoog

Bericht 25-03-'06, 11:38

TomMe

Berichten: 71

Re: [Wiskunde] Lineaire en exponenti

Bij enkelvoudige interest wordt er voor elke periode interest berekent over het oorspronkelijke bedrag. Als je de periode steeds kleiner maakt (zodat je op elk moment kan bepalen hoeveel geld er aanwezig is) dan krijg je een lineair verband. Dit wordt volgens mij bedoelt (of ze kijken alleen op bepaalde momenten).
Wat is dan de kleinste periode die je kan nemen? Er is toch niemand die intrest gaat berekenen per miliseconde?
De valversnelling is constant (ongeveer 9.81 m/s). De valsnelheid is een lineair verband (a*t).
Dus hoe klein je het tijdsinterval ook neemt, in realiteit zal het vallende voorwerp zich toch verplaatst hebben?
Lijkt me niet het antwoord dat gewenst wordt. Ik zou gewoon stellen dat de bevolkingsaanwas percentueel gezien constant is en dan kun je de vraag prima beantwoorden.
Tuurlijk, dat heb ik ook zo gedaan. Maar als je het écht strikt neemt weet je toch niet meer dan het gegeven dat er om het jaar een aangroei van 1,7% is? Bijgevolg krijg je dan een hoop punten (discontinue grafiek) waar je een continue grafiek kunt overleggen.

Ik bedoel maar, zijn die voorbeelden in mijn boek niet wat geïdealiseerd? Ze zijn alleszins bedoeld ter inleiding, maar wekken wat verwarring op bij nader onderzoek omdat men er niet expliciet bijschrijft dat ze wat geïdealiseerd zijn.

Tenminste, als ik het goed begrijp.
Of maw, men veronderstelt een continue exponentiële groei?
Hm, hier bedoelde ik waarschijnlijk constante exponentiële groei..
Omhoog

Bericht 25-03-'06, 12:28

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [Wiskunde] Lineaire en exponenti

Wat is dan de kleinste periode die je kan nemen?


Je kan de limiet naar 0 toch gewoon berekenen.
Er is toch niemand die intrest gaat berekenen per miliseconde?
De bank geeft je X% rente per jaar, maar rekent dat wel degelijk terug naar een percentage per dag.
Dus hoe klein je het tijdsinterval ook neemt, in realiteit zal het vallende voorwerp zich toch verplaatst hebben?
In de realiteit is het op een gegeven moment niet meer mogelijk om uberhaupt vast te stellen hoeveel iets bewogen heeft in een steeds kleiner wordend tijdsinterval. Ik denk dat je die realiteitszin los moet laten aangezien het hier gaat om een bedacht vraagstuk. Bij benadering is de snelheid van een vallend object in vacuum een lineaire aangelegenheid.
Maar als je het écht strikt neemt weet je toch niet meer dan het gegeven dat er om het jaar een aangroei van 1,7% is?
Klopt, maar als je op die manier dingen probeert te benaderen kom je nergens. Het is niet mogelijk om realistische situaties en simpel en volledig accuraat te bekijken.
Ik bedoel maar, zijn die voorbeelden in mijn boek niet wat geïdealiseerd?
Tuurlijk. Maar dat betekent niet dat de wiskunde die ze proberen aan te kaarten niet nuttig is bij benadering.
Omhoog

Bericht 26-03-'06, 12:36

TomMe

Berichten: 71

Re: [Wiskunde] Lineaire en exponenti

De bank geeft je X% rente per jaar, maar rekent dat wel degelijk terug naar een percentage per dag.
Ik begrijp best waar je naartoe wil. Maar als je het per dag berekent en je bekijkt het per uur, krijg je toch nog steeds dit soort grafiek (trap):

_--¨¨

Hoe kan je hieruit eigenlijk afleiden dat het een lineaire groei is? Ok, je merkt dat wel op zicht maar hoe kan je hier een rechte van maken? :P Of betreed je dan het gebied van de statistiek waar je moet werken met intervallen en min, max,..?
Klopt, maar als je op die manier dingen probeert te benaderen kom je nergens. Het is niet mogelijk om realistische situaties en simpel en volledig accuraat te bekijken.
Ik heb nogal de neiging om dingen zo uit te pluizen, ook al is dat niet de bedoeling van de gegeven tekst. :roll:

Dus al bij al is het misschien best om bij deze voorbeelden te veronderstellen dat de (lineaire of exponentiële) aangroei constant gebeurt, zodat er geen verwarring mogelijk is?

Mvg
Omhoog

Bericht 26-03-'06, 12:58

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [Wiskunde] Lineaire en exponenti

Hoe kan je hieruit eigenlijk afleiden dat het een lineaire groei is?
Als je een vaste tijd wacht komt er altijd even veel bij onafhankelijk van waar je het startpunt legt. Nemen we even als voorbeeld een vallent object.

t = 0 s: v = 0 m/s

t = 1 s: v = 9.81 m/s

t = 2 s: v = 19.62 m/s

t = 3 s: v = 29.43 m/s

enz.

Tussen elke twee opvolgende tijdstippen is het snelheidsverschil 9.81 m/s. Simpel gezegd: Het verband is een lijn.
Omhoog

Bericht 29-03-'06, 13:08

TomMe

Berichten: 71

Re: [Wiskunde] Lineaire en exponenti

Ok! :roll:

Kan je ook nog even antwoorden op mijn vraag of ik dan best een constante aangroei veronderstel bij die vbtjes? Dan kan ik dit er in mijn boek bij schrijven. Altijd handig om later weer niet hetzelfde probleem tegen te komen.

Mvg.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”