Bij dit vraagstuk wordt gevraagd dubbel integraal uit te rekenen. Voor dat je dat kan doen moet je weten van waar tot waar je x en je y waarden gaan.
Voor je x waarden is dat niet zo moeilijk die gaan van 0 tot 1
de y waarden gaan van aan de rechte tot tegen de cirkel boog de rechte is
\( y=-x+2 \)
dus dat zijn de kleinste y waarden en de vergelijking van de cirkel is
\(x^2 + y^2 -2y =0\)
Mijn enige probleem blijft dat ik mijn y waarden niet kan oplossen uit mijn vergelijking en dat ik dus ook niet weet hoe ik maximale y waarden in mijn integratie grens moet uitdrukken.
Je gaat y niet op een eenduidige manier kunnen oplossen naar x, de cirkel valt uiteen in twee helften maar het integratiegebied wordt hier beschreven door de positieve helft. De volgorde van integratie kan je kiezen. Ik zou bijvoorbeeld y vasthouden en laten lopen van 1 tot 2 en voor elke y laat je x dan lopen van \(2-y\) tot \(\sqrt{2y-y^2}\) want \(x^2 + y^2 - 2y = 0 \Leftrightarrow x^2 = 2y - y^2 \to x = \sqrt {2y - y^2 }\). Hier nam ik zoals gezegd de positieve wortel.
\(\int\limits_1^2 {\int\limits_{2 - y}^{\sqrt {2y - y^2 } } x dx} dy = \cdots = \frac{1}{6}\)
Bekijk het xy-vlak in z = 0, daar snijden je parabolen. Je integreert de paraboloide over dat gemeenschappelijke gebied om het volume te vinden. Je kan kiezen om eerst naar x of y te integreren, ik zal eerst naar y integreren. Je komt op het interval [0,1] dan eerst x² tegen, daarna past [wortel]x. Voor elke y loopt x dan van 0 tot 1.
Het rekenwerk laat ik opnieuw aan jou over (laat iets weten als dat niet lukt), je zou het volgende moeten vinden:
y.
